Công Thức Oxyz là một phần quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông, đặc biệt trong kỳ thi THPT Quốc gia. Bài viết này tổng hợp các công thức Oxyz giúp bạn giải nhanh các bài toán hình học không gian, tối ưu hóa thời gian làm bài và đạt điểm cao.
1. Xác Định Nhanh Tọa Độ Tâm Đường Tròn Nội Tiếp Tam Giác
Công thức giúp tìm nhanh tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ trong không gian $Oxyz$:
[left{ begin{gathered}
{x_I} = frac{{BC.{x_A} + CA.{x_B} + AB.{x_C}}}{{BC + CA + AB}} hfill
{y_I} = frac{{BC.{y_A} + CA.{y_B} + AB.{y_C}}}{{BC + CA + AB}} hfill
{z_I} = frac{{BC.{z_A} + CA.{z_B} + AB.{z_C}}}{{BC + CA + AB}} hfill
end{gathered} right..]
Trong đó, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp, $A(x_A, y_A, z_A)$, $B(x_B, y_B, z_B)$, $C(x_C, y_C, z_C)$ là tọa độ các đỉnh của tam giác.
Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ với $A(1;1;1), B(4;1;1), C(1;1;5)$. Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp $I$.
Giải: Tính độ dài các cạnh: $BC = 5, CA = 4, AB = 3$. Áp dụng công thức trên, ta có $I(2;1;2)$.
2. Xác Định Bán Kính Đường Tròn Ngoại Tiếp Tam Giác
Công thức tính nhanh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$:
[R = frac{{AB.BC.CA}}{{2left| {left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right]} right|}}.]
Công thức này giúp tính bán kính đường tròn ngoại tiếp dựa vào độ dài các cạnh và tích có hướng của hai vectơ cạnh.
Ví dụ: Cho $A(2;0;-1), B(1;-2;3), C(0;1;2)$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Giải: Tính độ dài các cạnh: $AB = sqrt{21}, BC = sqrt{11}, CA = sqrt{14}$. Tính diện tích tam giác: $S_{ABC} = frac{1}{2}left| {left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right]} right| = 5sqrt{frac{3}{2}}$. Áp dụng công thức, ta có $R = frac{7sqrt{11}}{10}$.
3. Xác Định Tọa Độ Hình Chiếu Vuông Góc Lên Trục/Mặt Phẳng Tọa Độ
- Hình chiếu của $M(x_0; y_0; z_0)$ lên $Ox, Oy, Oz$ lần lượt là $A(x_0; 0; 0), B(0; y_0; 0), C(0; 0; z_0)$.
- Hình chiếu của $M(x_0; y_0; z_0)$ lên $(Oxy), (Oyz), (Ozx)$ lần lượt là $A(x_0; y_0; 0), B(0; y_0; z_0), C(x_0; 0; z_0)$.
Ví dụ: Tìm hình chiếu của $M(3; 2; 6)$ lên các trục tọa độ. Kết quả: $A(3; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 6)$.
4. Xác Định Tọa Độ Điểm Đối Xứng Qua Mặt Phẳng
Điểm $N(x; y; z)$ đối xứng với $M(x_0; y_0; z_0)$ qua $(P): ax + by + cz + d = 0$ có tọa độ là nghiệm của hệ:
[left{ begin{gathered}
frac{{x – {x_0}}}{a} = frac{{y – {y_0}}}{b} = frac{{z – {z_0}}}{c} hfill
aleft( {frac{{x + {x_0}}}{2}} right) + bleft( {frac{{y + {y_0}}}{2}} right) + cleft( {frac{{z + {z_0}}}{2}} right) + d = 0 hfill
end{gathered} right.]
5. Mặt Phẳng Phân Giác Giữa Hai Mặt Phẳng
Cho $(alpha): a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ và $(beta): a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$. Phương trình mặt phẳng phân giác là:
[frac{{{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1}}}{{sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} }} = pm frac{{{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2}}}{{sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}.]
6. Đường Phân Giác Trong và Ngoài của Tam Giác
Với tam giác $ABC$, đường phân giác trong góc $A$ có vector chỉ phương:
[overrightarrow u = frac{1}{{AB}}overrightarrow {AB} + frac{1}{{AC}}overrightarrow {AC} .]
Đường phân giác ngoài góc $A$ có vector chỉ phương:
[overrightarrow u = frac{1}{{AB}}overrightarrow {AB} – frac{1}{{AC}}overrightarrow {AC} .]
Ví dụ: Cho $A(1;-2;1), B(-2;2;1), C(1;-2;2)$. Tìm giao điểm của đường phân giác trong góc $A$ với mặt phẳng $(Oyz)$.
Giải: Tính vector chỉ phương của phân giác trong, sau đó viết phương trình đường thẳng và tìm giao điểm với $(Oyz)$. Kết quả: $left(0; -frac{2}{3}; frac{8}{3}right)$.
7. Đường Phân Giác Của Hai Đường Thẳng Cắt Nhau
Cho hai đường thẳng $d_1, d_2$ cắt nhau tại $A(x_0; y_0; z_0)$ với vector chỉ phương $overrightarrow{u_1}, overrightarrow{u_2}$. Vector chỉ phương của đường phân giác là:
[overrightarrow u = frac{1}{{left| {{u_1}} right|}}.overrightarrow {{u_1}} pm frac{1}{{left| {{u_2}} right|}}.overrightarrow {{u_2}} ]
8. Khoảng Cách Giữa Hai Mặt Phẳng Song Song
Khoảng cách giữa $(alpha): ax + by + cz + d_1 = 0$ và $(beta): ax + by + cz + d_2 = 0$ là:
[dleft( {left( alpha right),left( beta right)} right) = frac{{left| {{d_1} – {d_2}} right|}}{{sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}.]
9. Mặt Phẳng Song Song và Cách Đều Hai Mặt Phẳng
Mặt phẳng song song và cách đều $(alpha): ax + by + cz + d_1 = 0$ và $(beta): ax + by + cz + d_2 = 0$ là:
[ax + by + cz + frac{{{d_1} + {d_2}}}{2} = 0.]
10. Tọa Độ Điểm Thỏa Mãn Đẳng Thức Vector
Điểm $I$ thỏa mãn $a_1overrightarrow{IA_1} + a_2overrightarrow{IA_2} + … + a_noverrightarrow{IA_n} = overrightarrow{0}$ có tọa độ:
[begin{array}{l}
{x_I} = frac{{{a1}{x{{A_1}}} + {a2}{x{{A_2}}} + … + {an}{x{{A_n}}}}}{{{a_1} + {a_2} + … + {a_n}}}
{y_I} = frac{{{a1}{y{{A_1}}} + {a2}{y{{A_2}}} + … + {an}{y{{A_n}}}}}{{{a_1} + {a_2} + … + {a_n}}}
{z_I} = frac{{{a1}{z{{A_1}}} + {a2}{z{{A_2}}} + … + {an}{z{{A_n}}}}}{{{a_1} + {a_2} + … + {a_n}}}
end{array}]
11. Tọa Độ Tâm Đường Tròn Ngoại Tiếp, Nội Tiếp, Trực Tâm, Trọng Tâm
Các dạng toán này thường yêu cầu giải hệ phương trình dựa trên các tính chất hình học.
- Tâm ngoại tiếp: Giải hệ $IA = IB, IA = IC, left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right].overrightarrow {IA} = 0$.
- Trực tâm: Giải hệ $overrightarrow{AB}.overrightarrow{HC} = 0, overrightarrow{AC}.overrightarrow{HB} = 0, left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right].overrightarrow {HA} = 0$.
Ví dụ: Cho $A(-1; 2; 4), B(-1; 1; 4), C(0; 0; 4)$. Tính góc $angle ABC$.
Giải: $cos angle ABC = frac{overrightarrow{BA}.overrightarrow{BC}}{BA.BC} = -frac{1}{sqrt{2}} Rightarrow angle ABC = 135^circ$.
12. Tọa Độ Tâm và Bán Kính Mặt Cầu Ngoại Tiếp Tứ Diện Vuông
(Công thức nâng cao, cần tìm hiểu thêm chi tiết)
Nắm vững các công thức Oxyz trên sẽ giúp bạn tự tin hơn khi giải các bài toán hình học không gian trong kỳ thi. Chúc các bạn học tốt!
