Phương trình bậc hai là một trong những kiến thức toán học cơ bản và quan trọng. Trong đó, trường hợp phương trình có nghiệm kép đóng vai trò then chốt, đặc biệt trong các bài toán liên quan đến biện luận và tìm điều kiện. Bài viết này sẽ đi sâu vào khái niệm phương trình có nghiệm kép, điều kiện để phương trình có nghiệm kép, cách giải và các dạng bài tập thường gặp.
1. Điều Kiện Để Phương Trình Bậc Hai Có Nghiệm Kép
Phương trình bậc hai một ẩn có dạng tổng quát:
$ax^2 + bx + c = 0$, với $a ne 0$
Để xét số nghiệm của phương trình bậc hai, ta cần tính biệt thức Delta ($Delta$):
$Delta = b^2 – 4ac$
Phương trình bậc hai có nghiệm kép khi và chỉ khi biệt thức Delta bằng 0, tức là:
$Delta = b^2 – 4ac = 0$
Khi đó, nghiệm kép của phương trình được tính theo công thức:
$x_1 = x_2 = -dfrac{b}{2a}$
2. Cách Giải Phương Trình Bậc Hai Khi Biết Có Nghiệm Kép
Khi biết phương trình bậc hai có nghiệm kép, ta có thể giải theo các bước sau:
- Kiểm tra điều kiện: Xác định các hệ số a, b, c của phương trình. Tính $Delta = b^2 – 4ac$. Nếu $Delta = 0$, phương trình có nghiệm kép.
- Tính nghiệm kép: Sử dụng công thức nghiệm kép: $x = -dfrac{b}{2a}$.
3. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp Về Phương Trình Có Nghiệm Kép
Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm kép.
Bài toán thường cho một phương trình bậc hai chứa tham số (ví dụ: m) và yêu cầu tìm giá trị của tham số để phương trình có nghiệm kép.
Phương pháp:
- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình, thường là các biểu thức chứa tham số.
- Tính $Delta = b^2 – 4ac$.
- Giải phương trình $Delta = 0$ để tìm giá trị của tham số.
- Kiểm tra lại điều kiện $a ne 0$ để đảm bảo phương trình là phương trình bậc hai.
Ví dụ:
Tìm m để phương trình $x^2 – 2(m+1)x + m^2 + 2 = 0$ có nghiệm kép.
-
Giải:
- Ta có: $a = 1, b = -2(m+1), c = m^2 + 2$
- $Delta = b^2 – 4ac = [-2(m+1)]^2 – 4(1)(m^2 + 2) = 4(m^2 + 2m + 1) – 4m^2 – 8 = 8m – 4$
- Để phương trình có nghiệm kép, $Delta = 0 Leftrightarrow 8m – 4 = 0 Leftrightarrow m = dfrac{1}{2}$
- Với $m = dfrac{1}{2}$, phương trình trở thành $x^2 – 3x + dfrac{9}{4} = 0$, có nghiệm kép $x = dfrac{3}{2}$.
Dạng 2: Tìm nghiệm kép của phương trình bậc hai khi biết tham số.
Bài toán cho một phương trình bậc hai chứa tham số và giá trị của tham số đã biết sao cho phương trình có nghiệm kép. Yêu cầu là tìm nghiệm kép đó.
Phương pháp:
- Thay giá trị của tham số vào phương trình.
- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình sau khi thay tham số.
- Tính nghiệm kép theo công thức $x = -dfrac{b}{2a}$.
Ví dụ:
Cho phương trình $x^2 – 2(m-1)x + m^2 – 3m + 2 = 0$. Biết phương trình có nghiệm kép khi $m = 1$. Tìm nghiệm kép đó.
-
Giải:
- Thay $m = 1$ vào phương trình, ta được: $x^2 – 0x + 0 = 0 Leftrightarrow x^2 = 0$
- Phương trình có nghiệm kép: $x = 0$.
Dạng 3: Ứng dụng nghiệm kép để giải các bài toán liên quan.
Nghiệm kép có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán khác, ví dụ như tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức, chứng minh một đẳng thức, hoặc giải các bài toán hình học liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn.
Phương pháp:
- Xây dựng một phương trình bậc hai liên quan đến bài toán.
- Tìm điều kiện để phương trình bậc hai đó có nghiệm kép.
- Sử dụng nghiệm kép để giải quyết yêu cầu của bài toán.
4. Lưu Ý Khi Giải Bài Toán Về Phương Trình Có Nghiệm Kép
- Luôn kiểm tra điều kiện $a ne 0$ để đảm bảo phương trình là phương trình bậc hai.
- Khi giải phương trình $Delta = 0$ để tìm tham số, cần kiểm tra lại các giá trị tham số tìm được xem có thỏa mãn các điều kiện khác của bài toán hay không.
- Nắm vững công thức nghiệm kép $x = -dfrac{b}{2a}$ và áp dụng linh hoạt trong các bài toán.
Nắm vững kiến thức về phương trình bậc hai có nghiệm kép là nền tảng quan trọng để giải quyết nhiều bài toán toán học khác nhau. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và giúp bạn tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán liên quan.
