Xét bài toán quen thuộc về xác suất: từ một hộp chứa 10 quả cầu màu đỏ và 5 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Câu hỏi đặt ra là tính xác suất để có được các trường hợp khác nhau về số lượng quả cầu màu xanh trong 3 quả cầu được chọn.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về tổ hợp và xác suất.
- Không gian mẫu: Số cách chọn 3 quả cầu bất kỳ từ tổng số 15 quả cầu là C(15, 3).
- Các trường hợp có thể xảy ra:
- Lấy được 0 quả cầu màu xanh (3 quả cầu màu đỏ).
- Lấy được 1 quả cầu màu xanh và 2 quả cầu màu đỏ.
- Lấy được 2 quả cầu màu xanh và 1 quả cầu màu đỏ.
- Lấy được 3 quả cầu màu xanh.
Tính xác suất cho từng trường hợp:
- Trường hợp 1: Lấy được 3 quả cầu màu đỏ:
Số cách chọn 3 quả cầu màu đỏ từ 10 quả cầu màu đỏ là C(10, 3). Xác suất là P(3 đỏ) = C(10, 3) / C(15, 3).
ALT: Công thức tính tổ hợp chập 3 của 10, minh họa số cách chọn 3 quả cầu đỏ từ 10 quả cầu đỏ, một yếu tố quan trọng trong bài toán xác suất.
- Trường hợp 2: Lấy được 1 quả cầu màu xanh và 2 quả cầu màu đỏ:
Số cách chọn 1 quả cầu màu xanh từ 5 quả cầu màu xanh là C(5, 1).
Số cách chọn 2 quả cầu màu đỏ từ 10 quả cầu màu đỏ là C(10, 2).
Số cách chọn 1 xanh, 2 đỏ là C(5, 1) C(10, 2). Xác suất là P(1 xanh, 2 đỏ) = (C(5, 1) C(10, 2)) / C(15, 3).
- Trường hợp 3: Lấy được 2 quả cầu màu xanh và 1 quả cầu màu đỏ:
Số cách chọn 2 quả cầu màu xanh từ 5 quả cầu màu xanh là C(5, 2).
Số cách chọn 1 quả cầu màu đỏ từ 10 quả cầu màu đỏ là C(10, 1).
Số cách chọn 2 xanh, 1 đỏ là C(5, 2) C(10, 1). Xác suất là P(2 xanh, 1 đỏ) = (C(5, 2) C(10, 1)) / C(15, 3).
- Trường hợp 4: Lấy được 3 quả cầu màu xanh:
Số cách chọn 3 quả cầu màu xanh từ 5 quả cầu màu xanh là C(5, 3). Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh là P(3 xanh) = C(5, 3) / C(15, 3). Đây là trường hợp đặc biệt thường được hỏi.
ALT: Biểu thức tính xác suất P(A) = C(5,3) / C(15,3) cho biến cố A: lấy được 3 quả cầu màu xanh, thể hiện cách áp dụng tổ hợp vào tính xác suất.
Công thức tổng quát:
Trong bài toán tổng quát, nếu có m quả cầu màu xanh và n quả cầu màu đỏ, và ta lấy k quả cầu, thì xác suất để lấy được i quả cầu màu xanh là:
P(i xanh, k-i đỏ) = (C(m, i) * C(n, k-i)) / C(m+n, k)
Bài toán “Từ Một Hộp Chứa 10 Quả Cầu Màu đỏ Và 5 Quả Cầu Màu Xanh Lấy Ngẫu Nhiên đồng Thời 3 Quả Cầu” là một ví dụ điển hình của ứng dụng tổ hợp trong tính xác suất. Việc hiểu rõ các trường hợp và cách áp dụng công thức tổ hợp sẽ giúp giải quyết các bài toán tương tự một cách dễ dàng.
