Tuyển Tập Bài Tập Logarit Chọn Lọc, Có Đáp Án Chi Tiết

Phương trình logarit là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 12 và thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia. Để giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập logarit, bài viết này sẽ tổng hợp các dạng bài tập logarit điển hình, kèm theo phương pháp giải chi tiết và ví dụ minh họa cụ thể.

Các Dạng Bài Tập Logarit Thường Gặp

1. Giải Phương Trình Logarit Bằng Cách Đưa Về Cùng Cơ Số

Đây là phương pháp cơ bản và quan trọng nhất để giải bài tập logarit.

A. Phương Pháp Giải

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình (nếu có). Điều kiện thường gặp là biểu thức dưới dấu logarit phải lớn hơn 0.

• Bước 2: Sử dụng các công thức biến đổi logarit để đưa tất cả các logarit trong phương trình về cùng một cơ số. Các công thức cần nhớ:

  • logₐ(b) = logₓ(b) / logₓ(a) (công thức đổi cơ số)
  • logₐ(a) = 1
  • logₐ(1) = 0
  • logₐ(bⁿ) = n * logₐ(b)
  • logₐ(b * c) = logₐ(b) + logₐ(c)
  • logₐ(b / c) = logₐ(b) - logₐ(c)

• Bước 3: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản logₐ(f(x)) = logₐ(g(x)) hoặc logₐ(x) = b.

• Bước 4: Giải phương trình f(x) = g(x) hoặc x = aᵇ.

• Bước 5: Kiểm tra lại điều kiện xác định và kết luận nghiệm.

B. Ví Dụ Minh Họa

Bài 1: Giải phương trình: log₂x + log₃x + log₄x = log₂₀x

Lời giải:

Điều kiện: x > 0.

Phương trình tương đương:

log₂x + log₂x/log₂3 + log₂x/log₂4 = log₂x/log₂20

log₂x (1 + 1/log₂3 + 1/log₂4 - 1/log₂20) = 0

Vì 1 + 1/log₂3 + 1/log₂4 - 1/log₂20 ≠ 0 (bạn đọc tự chứng minh), nên log₂x = 0.

Suy ra x = 2⁰ = 1 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy tập nghiệm của phương trình là {1}.

Bài 2: Giải phương trình: log₃(x² - 2x) = 1

Lời giải:

log₃(x² - 2x) = 1 ⇔ x² - 2x = 3 ⇔ x² - 2x - 3 = 0

⇔ (x - 3)(x + 1) = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = -1.

Kiểm tra điều kiện x² - 2x > 0:

• Với x = 3, ta có 3² - 2*3 = 3 > 0 (thỏa mãn).
• Với x = -1, ta có (-1)² - 2*(-1) = 3 > 0 (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm của phương trình là {-1; 3}.

Bài 3: Giải phương trình: log₂(x + 1) + log₂(x + 3) = 3

Lời giải:

Điều kiện: x > -1.

log₂(x + 1) + log₂(x + 3) = 3 ⇔ log₂((x + 1)(x + 3)) = 3

⇔ (x + 1)(x + 3) = 2³ = 8 ⇔ x² + 4x + 3 = 8 ⇔ x² + 4x - 5 = 0

⇔ (x - 1)(x + 5) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -5.

Kiểm tra điều kiện x > -1:

• Với x = 1, ta có 1 > -1 (thỏa mãn).
• Với x = -5, ta có -5 < -1 (không thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm của phương trình là {1}.

2. Giải Phương Trình Logarit Bằng Cách Mũ Hóa

Phương pháp này sử dụng định nghĩa của logarit để khử logarit.

A. Phương Pháp Giải

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình (nếu có).
• Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng logₐ(f(x)) = g(x).
• Bước 3: Áp dụng định nghĩa logarit: f(x) = a^(g(x)).
• Bước 4: Giải phương trình vừa thu được.
• Bước 5: Kiểm tra điều kiện xác định và kết luận nghiệm.

B. Ví Dụ Minh Họa

Bài 1: Giải phương trình: log₂(x + 3) = 1

Lời giải:

Điều kiện: x > -3.

log₂(x + 3) = 1 ⇔ x + 3 = 2¹ = 2 ⇔ x = -1 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy nghiệm của phương trình là x = -1.

Bài 2: Giải phương trình: log(25ˣ - 2 * 4ˣ) = x

Lời giải:

log(25ˣ - 2 * 4ˣ) = x ⇔ 25ˣ - 2 * 4ˣ = 10ˣ

⇔ (5ˣ)² - 2 * (2ˣ)² = (2 * 5)ˣ

Chia cả hai vế cho 4ˣ = (2ˣ)² ta được:

(5ˣ/2ˣ)² - 2 = (5ˣ/2ˣ) * (10ˣ/2ˣ)
Đặt t = (5/2)ˣ, phương trình trở thành:

t² - t - 2 = 0 ⇔ (t - 2)(t + 1) = 0

Suy ra t = 2 hoặc t = -1.

Với t = 2, ta có (5/2)ˣ = 2 ⇔ x = log(5/2)2.
Với t = -1, ta có (5/2)ˣ = -1 (vô nghiệm).

Bài 3: Giải phương trình log₂(9 - 2ˣ) = 3 - x

Lời giải:

Điều kiện: 9 - 2ˣ > 0 ⇔ 2ˣ < 9 ⇔ x < log₂9.

log₂(9 - 2ˣ) = 3 - x ⇔ 9 - 2ˣ = 2^(3 - x) = 8/2ˣ

Đặt t = 2ˣ, phương trình trở thành:

9 - t = 8/t ⇔ 9t - t² = 8 ⇔ t² - 9t + 8 = 0

⇔ (t - 1)(t - 8) = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 8.

• Với t = 1, ta có 2ˣ = 1 ⇔ x = 0 (thỏa mãn x < log₂9).
• Với t = 8, ta có 2ˣ = 8 ⇔ x = 3 (thỏa mãn x < log₂9).

Vậy tập nghiệm của phương trình là {0; 3}.

3. Giải Phương Trình Logarit Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ

Phương pháp này giúp đơn giản hóa phương trình phức tạp bằng cách thay thế một biểu thức logarit bằng một biến mới.

A. Phương Pháp Giải

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình (nếu có).
• Bước 2: Xác định biểu thức logarit thích hợp để đặt ẩn phụ. Ví dụ: t = logₐ(g(x)).
• Bước 3: Tìm điều kiện của ẩn phụ t (nếu có).
• Bước 4: Thay thế vào phương trình ban đầu và giải phương trình theo ẩn phụ t.
• Bước 5: Giải ngược lại để tìm x từ giá trị của t.
• Bước 6: Kiểm tra điều kiện xác định của x và kết luận nghiệm.

B. Ví Dụ Minh Họa

Bài 1: Giải phương trình: log₃²(x) - 4log₃(x) + 3 = 0

Lời giải:

Điều kiện: x > 0.

Đặt t = log₃(x). Phương trình trở thành:

t² - 4t + 3 = 0 ⇔ (t - 1)(t - 3) = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 3.

• Với t = 1, ta có log₃(x) = 1 ⇔ x = 3¹ = 3 (thỏa mãn điều kiện).
• Với t = 3, ta có log₃(x) = 3 ⇔ x = 3³ = 27 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy tập nghiệm của phương trình là {3; 27}.

Bài 2: Giải phương trình: log(x) + 3/log(x) = 4

Lời giải:

Điều kiện: x > 0 và x ≠ 1 (vì log(1) = 0).

Đặt t = log(x). Phương trình trở thành:

t + 3/t = 4 ⇔ t² - 4t + 3 = 0 ⇔ (t - 1)(t - 3) = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 3.

• Với t = 1, ta có log(x) = 1 ⇔ x = 10¹ = 10 (thỏa mãn điều kiện).
• Với t = 3, ta có log(x) = 3 ⇔ x = 10³ = 100 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy tập nghiệm của phương trình là {10; 100}.

Bài 3: Giải phương trình: log₃(x) * log₉(x) * log₂₇(x) = 8/3

Lời giải:

Điều kiện: x > 0.

Ta có log₉(x) = log₃(x) / log₃(9) = log₃(x) / 2 và log₂₇(x) = log₃(x) / log₃(27) = log₃(x) / 3.

Đặt t = log₃(x). Phương trình trở thành:

t * (t/2) * (t/3) = 8/3 ⇔ t³/6 = 8/3 ⇔ t³ = 16 ⇔ t = ∛16 = 2∛2.

Suy ra log₃(x) = 2∛2 ⇔ x = 3^(2∛2) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy nghiệm của phương trình là x = 3^(2∛2).

Lưu Ý Khi Giải Bài Tập Logarit

• Luôn tìm điều kiện xác định trước khi giải phương trình.
• Nắm vững các công thức biến đổi logarit.
• Kiểm tra lại nghiệm sau khi giải để đảm bảo thỏa mãn điều kiện xác định.
• Lựa chọn phương pháp giải phù hợp với từng dạng bài tập.

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập logarit và đạt kết quả cao trong học tập. Chúc các bạn thành công!