Tỉ Lệ Tam Giác đồng Dạng là một khái niệm quan trọng trong hình học, đặc biệt là khi nghiên cứu về tam giác. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về tỉ lệ đồng dạng, từ định nghĩa cơ bản đến các ứng dụng thực tế và bài tập minh họa.
Khái Niệm Cơ Bản về Tam Giác Đồng Dạng
Hai tam giác được gọi là đồng dạng nếu chúng có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau.
Nếu ΔA’B’C’ đồng dạng với ΔABC, ta ký hiệu là ΔA’B’C’ ~ ΔABC. Điều này có nghĩa là:
- ∠A’ = ∠A, ∠B’ = ∠B, ∠C’ = ∠C
- A’B’/AB = B’C’/BC = C’A’/CA = k
Trong đó, k được gọi là tỉ số đồng dạng của hai tam giác.
Tỉ Số Đồng Dạng Là Gì?
Tỉ số đồng dạng, ký hiệu là k, là tỉ số giữa độ dài các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng. Nếu tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k, thì:
k = A’B’/AB = B’C’/BC = C’A’/CA
Tỉ số đồng dạng cho biết tam giác này lớn hơn hay nhỏ hơn tam giác kia bao nhiêu lần. Nếu k > 1, tam giác A’B’C’ lớn hơn tam giác ABC. Nếu 0 < k < 1,=”” tam=”” giác=”” a’b’c’=”” nhỏ=”” hơn=”” tam=”” giác=”” abc.=”” nếu=”” k=”1,” hai=”” tam=”” giác=”” bằng=””>
Tính Chất Quan Trọng của Tam Giác Đồng Dạng
-
Tính phản xạ: Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó.
-
Tính đối xứng: Nếu ΔABC ~ ΔA’B’C’ thì ΔA’B’C’ ~ ΔABC. Tỉ số đồng dạng của ΔA’B’C’ so với ΔABC là k, thì tỉ số đồng dạng của ΔABC so với ΔA’B’C’ là 1/k.
-
Tính bắc cầu: Nếu ΔABC ~ ΔA’B’C’ và ΔA’B’C’ ~ ΔA”B”C” thì ΔABC ~ ΔA”B”C”.
Định Lý Về Tam Giác Đồng Dạng
Định lý quan trọng nhất về tam giác đồng dạng là:
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.
Ví dụ: Trong tam giác ABC, nếu đường thẳng DE song song với BC (D thuộc AB, E thuộc AC) thì ΔADE ~ ΔABC.
Định lý này cũng đúng khi đường thẳng cắt phần kéo dài của hai cạnh và song song với cạnh còn lại.
Các Trường Hợp Đồng Dạng Của Tam Giác
Có ba trường hợp đồng dạng cơ bản của tam giác:
- Trường hợp cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c): Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
- Trường hợp cạnh – góc – cạnh (c.g.c): Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.
- Trường hợp góc – góc (g.g): Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Ứng Dụng của Tỉ Lệ Tam Giác Đồng Dạng
Tỉ lệ tam giác đồng dạng có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
- Đo chiều cao của vật thể: Sử dụng bóng của vật thể và tỉ lệ đồng dạng để tính chiều cao.
- Xây dựng và kiến trúc: Thiết kế các công trình dựa trên tỉ lệ để đảm bảo tính thẩm mỹ và kỹ thuật.
- Bản đồ và định vị: Sử dụng tam giác đồng dạng để thu nhỏ hoặc phóng to bản đồ mà vẫn giữ được tỉ lệ chính xác.
Bài Tập Vận Dụng
Bài 1: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’ theo tỉ số k = 3/5. Biết AB = 6cm, BC = 8cm, CA = 10cm. Tính độ dài các cạnh A’B’, B’C’, C’A’.
Lời giải:
Vì ΔABC ~ ΔA’B’C’ theo tỉ số k = 3/5 nên:
A’B’/AB = B’C’/BC = C’A’/CA = 3/5
Suy ra:
A’B’ = (3/5) AB = (3/5) 6 = 3.6 cm
B’C’ = (3/5) BC = (3/5) 8 = 4.8 cm
C’A’ = (3/5) CA = (3/5) 10 = 6 cm
Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng ΔOAB ~ ΔOCD và xác định tỉ số đồng dạng.
Lời giải:
Xét ΔOAB và ΔOCD, ta có:
- ∠OAB = ∠OCD (so le trong do AB // CD)
- ∠OBA = ∠ODC (so le trong do AB // CD)
- ∠AOB = ∠COD (đối đỉnh)
Vậy ΔOAB ~ ΔOCD (g.g).
Tỉ số đồng dạng là OA/OC = OB/OD = AB/CD.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng ΔABH ~ ΔCBA.
Lời giải:
Xét ΔABH và ΔCBA, ta có:
- ∠AHB = ∠CAB = 90°
- ∠B chung
Vậy ΔABH ~ ΔCBA (g.g).
Tổng Kết
Tỉ lệ tam giác đồng dạng là một công cụ mạnh mẽ trong hình học, giúp giải quyết nhiều bài toán và ứng dụng thực tế. Việc nắm vững khái niệm, tính chất và các trường hợp đồng dạng là rất quan trọng để học tốt môn Toán. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và sâu sắc về tỉ lệ tam giác đồng dạng.
