Tích vô hướng của hai vectơ là một khái niệm quan trọng trong chương trình toán lớp 10, đặc biệt là hình học. Nó không chỉ là một công cụ để giải quyết các bài toán liên quan đến góc và độ dài, mà còn là nền tảng cho nhiều khái niệm toán học cao cấp hơn. Bài viết này sẽ đi sâu vào định nghĩa, tính chất và ứng dụng của tích vô hướng, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập liên quan.
1. Góc giữa hai vectơ
Góc giữa hai vectơ là khái niệm cơ bản để hiểu về tích vô hướng. Góc giữa hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ (khác vectơ $vec{0}$) là góc tạo bởi hai tia $Ax$ và $Ay$, trong đó $A$ là một điểm bất kỳ, $vec{Ax} = vec{a}$ và $vec{Ay} = vec{b}$. Góc này thường được ký hiệu là $(vec{a}, vec{b})$ và có giá trị từ $0^circ$ đến $180^circ$.
2. Định nghĩa tích vô hướng
Tích vô hướng của hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ là một số thực, ký hiệu là $vec{a} cdot vec{b}$, được tính bằng công thức:
$vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| cdot |vec{b}| cdot cos(vec{a}, vec{b})$
Trong đó:
- $|vec{a}|$ và $|vec{b}|$ là độ dài của vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ tương ứng.
- $(vec{a}, vec{b})$ là góc giữa hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$.
Hình ảnh minh họa góc giữa hai vector a và b, biểu diễn công thức tính tích vô hướng liên quan đến độ dài và cosin góc giữa chúng.
3. Tính chất của tích vô hướng
Tích vô hướng có các tính chất quan trọng sau:
- Tính giao hoán: $vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$
- Tính phân phối đối với phép cộng: $vec{a} cdot (vec{b} + vec{c}) = vec{a} cdot vec{b} + vec{a} cdot vec{c}$
- Tính kết hợp với một số: $(kvec{a}) cdot vec{b} = k(vec{a} cdot vec{b}) = vec{a} cdot (kvec{b})$
- $vec{a} cdot vec{a} = |vec{a}|^2$ (thường được viết là $vec{a}^2$)
- $vec{a} cdot vec{b} = 0$ khi và chỉ khi $vec{a} = vec{0}$ hoặc $vec{b} = vec{0}$ hoặc $vec{a}$ vuông góc với $vec{b}$.
4. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $vec{a} = (x_1; y_1)$ và $vec{b} = (x_2; y_2)$. Khi đó, tích vô hướng của hai vectơ này được tính bằng công thức:
$vec{a} cdot vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$
Công thức này rất hữu ích khi giải các bài toán mà các vectơ được cho dưới dạng tọa độ.
5. Ứng dụng của tích vô hướng
Tích vô hướng có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và vật lý, bao gồm:
- Tính góc giữa hai vectơ: $cos(vec{a}, vec{b}) = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|}$
- Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ: Hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $vec{a} cdot vec{b} = 0$.
- Tính độ dài hình chiếu của một vectơ lên một vectơ khác: Độ dài hình chiếu của vectơ $vec{a}$ lên vectơ $vec{b}$ là $frac{|vec{a} cdot vec{b}|}{|vec{b}|}$.
- Giải các bài toán hình học phẳng: Tích vô hướng giúp đơn giản hóa việc giải các bài toán liên quan đến tam giác, hình bình hành, và các hình khác.
Hình ảnh minh họa công thức cosin góc giữa hai vector a và b, sử dụng tích vô hướng và độ dài của từng vector.
6. Bài tập vận dụng
Để nắm vững kiến thức về tích vô hướng, hãy cùng xem xét một số bài tập ví dụ:
Bài 1: Cho hai vectơ $vec{a} = (1; 2)$ và $vec{b} = (3; -1)$. Tính tích vô hướng $vec{a} cdot vec{b}$ và góc giữa hai vectơ này.
Giải:
- $vec{a} cdot vec{b} = (1)(3) + (2)(-1) = 3 – 2 = 1$
- $|vec{a}| = sqrt{1^2 + 2^2} = sqrt{5}$
- $|vec{b}| = sqrt{3^2 + (-1)^2} = sqrt{10}$
- $cos(vec{a}, vec{b}) = frac{1}{sqrt{5} cdot sqrt{10}} = frac{1}{sqrt{50}} = frac{1}{5sqrt{2}}$
- $(vec{a}, vec{b}) = arccos(frac{1}{5sqrt{2}}) approx 81.87^circ$
Bài 2: Cho tam giác $ABC$ có $A(1; 1)$, $B(3; 2)$, $C(0; 4)$. Chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
Giải:
- $vec{AB} = (3-1; 2-1) = (2; 1)$
- $vec{AC} = (0-1; 4-1) = (-1; 3)$
- $vec{AB} cdot vec{AC} = (2)(-1) + (1)(3) = -2 + 3 = 1$
- $vec{AB} cdot vec{AC} = 0$ => góc BAC = 90 độ. Vậy tam giác ABC vuông tại A.
Qua các bài tập trên, bạn có thể thấy tích vô hướng là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán hình học.
7. Kết luận
Tích vô hướng của hai vectơ là một khái niệm quan trọng trong toán học lớp 10. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và ứng dụng của tích vô hướng sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc giải các bài toán liên quan. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo kỹ năng này.
