Thể tích chóp cụt là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian, thường gặp trong chương trình Toán lớp 11 và ứng dụng rộng rãi trong thực tế. Bài viết này sẽ cung cấp Công Thức Tính Thể Tích Chóp Cụt một cách chi tiết, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện giúp bạn nắm vững kiến thức.
1. Công Thức Tính Thể Tích Chóp Cụt
Thể tích của khối chóp cụt được tính theo công thức sau:
V = (1/3) h (S₁ + √(S₁ * S₂) + S₂)
Trong đó:
- V: Thể tích khối chóp cụt
- h: Chiều cao của khối chóp cụt (khoảng cách giữa hai đáy)
- S₁: Diện tích đáy lớn
- S₂: Diện tích đáy nhỏ
Công thức này áp dụng cho mọi loại chóp cụt, không chỉ riêng chóp cụt đều. Tuy nhiên, trong trường hợp chóp cụt đều, việc tính diện tích đáy S₁ và S₂ sẽ đơn giản hơn do các đáy là đa giác đều.
2. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho một khối chóp cụt tam giác đều ABC.A’B’C’ có chiều cao h = 6a, cạnh đáy lớn AB = 6a và cạnh đáy nhỏ A’B’ = 2a. Tính thể tích khối chóp cụt này.
Giải:
Trước tiên, ta tính diện tích hai đáy:
- Diện tích đáy lớn (tam giác đều ABC): S₁ = (AB² √3) / 4 = (36a² √3) / 4 = 9a²√3
- Diện tích đáy nhỏ (tam giác đều A’B’C’): S₂ = (A’B’² √3) / 4 = (4a² √3) / 4 = a²√3
Sau đó, áp dụng công thức tính thể tích:
V = (1/3) h (S₁ + √(S₁ S₂) + S₂)
V = (1/3) 6a (9a²√3 + √(9a²√3 a²√3) + a²√3)
V = 2a (9a²√3 + 3a²√3 + a²√3)
V = 2a 13a²√3
V = 26a³√3
Vậy thể tích khối chóp cụt là 26a³√3.
Ví dụ 2: Một cái xô hình chóp cụt đều (hình dưới) có đường kính đáy lớn là 40cm, đường kính đáy nhỏ là 20cm và chiều cao là 30cm. Tính thể tích của xô.
Giải:
Đáy lớn và đáy nhỏ là hình tròn. Ta có:
- Bán kính đáy lớn: R = 40/2 = 20 cm
- Bán kính đáy nhỏ: r = 20/2 = 10 cm
Diện tích hai đáy:
- Diện tích đáy lớn: S₁ = πR² = π * 20² = 400π cm²
- Diện tích đáy nhỏ: S₂ = πr² = π * 10² = 100π cm²
Áp dụng công thức tính thể tích:
V = (1/3) h (S₁ + √(S₁ S₂) + S₂)
V = (1/3) 30 (400π + √(400π 100π) + 100π)
V = 10 (400π + 200π + 100π)
V = 10 700π
V = 7000π cm³
Vậy thể tích của xô là 7000π cm³ (khoảng 21991 cm³).
3. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1: Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy lớn AB = 4a, cạnh đáy nhỏ A’B’ = 2a và chiều cao h = 3a. Tính thể tích của khối chóp cụt.
Bài 2: Một bồn hoa có dạng hình chóp cụt đều, đáy lớn là hình vuông cạnh 1m, đáy nhỏ là hình vuông cạnh 0.5m và chiều cao là 0.8m. Tính thể tích đất cần thiết để đổ đầy bồn hoa.
Bài 3: Tính thể tích của một khối chóp cụt tam giác đều, biết cạnh đáy lớn là 8cm, cạnh đáy nhỏ là 4cm và chiều cao là 6cm.
Bài 4: Người ta muốn xây một đài phun nước có dạng hình chóp cụt tứ giác đều. Kích thước đáy dưới là hình vuông cạnh 6m, kích thước đáy trên là hình vuông cạnh 3m, chiều cao là 4m. Hãy tính thể tích của đài phun nước này.
4. Lưu Ý Khi Tính Thể Tích Chóp Cụt
- Đơn vị: Cần đảm bảo tất cả các kích thước (chiều cao, cạnh đáy) đều được đo bằng cùng một đơn vị trước khi thực hiện tính toán. Kết quả thể tích sẽ có đơn vị là lập phương của đơn vị đo chiều dài.
- Diện tích đáy: Tính toán chính xác diện tích đáy lớn và đáy nhỏ là yếu tố then chốt để có được kết quả đúng.
- Chóp cụt đều và không đều: Công thức trên áp dụng chung cho cả hai loại. Tuy nhiên, việc tính diện tích đáy của chóp cụt đều sẽ đơn giản hơn.
- Ứng dụng thực tế: Bài toán về thể tích chóp cụt thường xuất hiện trong các bài toán thực tế liên quan đến xây dựng, thiết kế, hoặc tính toán vật liệu.
Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn sẽ nắm vững công thức tính thể tích chóp cụt và áp dụng thành công vào giải quyết các bài toán. Chúc bạn học tốt!
