Phương trình bậc hai là một trong những kiến thức toán học nền tảng và quan trọng. Việc hiểu rõ điều kiện để Phương Trình Bậc 2 Có 2 Nghiệm phân biệt, nghiệm kép, cũng như cách giải và biện luận, sẽ giúp bạn tự tin chinh phục các bài toán liên quan.
Điều Kiện Để Phương Trình Bậc 2 Có 2 Nghiệm
Phương trình bậc hai có dạng tổng quát: ax² + bx + c = 0, với a ≠ 0. Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt, biệt thức Δ (delta) phải lớn hơn 0. Công thức tính delta là:
Δ = b² – 4ac
Vậy, phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: b² – 4ac > 0. Hai nghiệm đó được tính theo công thức:
x1 = (-b + √Δ) / (2a)
x2 = (-b – √Δ) / (2a)
Lưu ý:
- Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép x = -b/2a.
- Nếu Δ < 0: Phương trình vô nghiệm (không có nghiệm thực).
Các Dạng Bài Tập Thường Gặp Về Phương Trình Bậc 2 Có 2 Nghiệm
-
Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt.
- Ví dụ: Tìm m để phương trình x² – 2mx + m² – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
- Giải: Tính Δ = (-2m)² – 4(m² – 1) = 4. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, Δ > 0, tức là 4 > 0 (luôn đúng). Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
-
Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn một điều kiện cho trước (ví dụ: hai nghiệm đều dương, hai nghiệm trái dấu, …).
- Ví dụ: Tìm m để phương trình x² – (m+1)x + 2m – 3 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt.
- Giải:
- Điều kiện để có hai nghiệm phân biệt: Δ = (m+1)² – 4(2m-3) > 0
- Điều kiện để hai nghiệm dương:
- Tổng hai nghiệm dương: x1 + x2 = m + 1 > 0
- Tích hai nghiệm dương: x1 * x2 = 2m – 3 > 0
- Giải hệ bất phương trình trên để tìm ra khoảng giá trị của m.
-
Bài toán liên quan đến định lý Vi-et:
- Định lý Vi-et cho phép tìm tổng và tích của hai nghiệm mà không cần giải phương trình.
- x1 + x2 = -b/a
- x1 * x2 = c/a
- Ví dụ: Cho phương trình x² – 5x + m = 0. Tìm m để x1² + x2² = 15.
- Giải:
- x1² + x2² = (x1 + x2)² – 2x1x2
- Áp dụng Vi-et: x1 + x2 = 5, x1x2 = m
- Thay vào: 5² – 2m = 15 => m = 5
- Định lý Vi-et cho phép tìm tổng và tích của hai nghiệm mà không cần giải phương trình.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình (m–1)x² + 3x – 1 = 0 có nghiệm.
Lời giải:
Với m = 1, phương trình trở thành 3x – 1 = 0 ⇔ x = 1/3
Do đó m = 1 thỏa mãn.
Với m ≠ 1, ta có Δ = 9 + 4(m-1) = 4m + 5
Phương trình có nghiệm khi Δ ≥ 0
Hợp hai trường hợp ta được m ≥ -5/4 là giá trị cần tìm
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hai đồ thị hàm số y = -x² – 2x + 3 và y = x² – m có điểm chung.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm -x² – 2x + 3 = x² – m
⇔ 2x² + 2x – m – 3 = 0. (*)
Để hai đồ thị hàm số có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm
⇔ Δ’ = 1 – 2(-m-3) ≥ 0 ⇔ m ≥ -7/2
Bài Tập Tự Luyện
- Tìm m để phương trình x² – 2(m-1)x + m² – 3m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
- Cho phương trình x² + (2m-1)x + m² – 2 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1² + x2² = 5.
- Tìm m để phương trình (m+1)x² – 2(m-1)x + m – 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
Kết luận
Nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên các dạng bài tập khác nhau là chìa khóa để giải quyết thành công các bài toán về phương trình bậc 2 có 2 nghiệm. Chúc các bạn học tốt!
