Rút Gọn Biểu Thức Căn Bậc 2 là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán THCS, đặc biệt là lớp 9. Việc nắm vững các phương pháp và kỹ thuật rút gọn sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng và chính xác.
Phương Pháp Rút Gọn Biểu Thức Chứa Căn Bậc Hai
Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, chúng ta thường áp dụng các bước sau:
- Tìm điều kiện xác định (nếu cần): Xác định các giá trị của biến để biểu thức trong căn có nghĩa (không âm).
- Biến đổi biểu thức trong căn: Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ và các phép biến đổi đại số để đưa biểu thức trong căn về dạng bình phương hoặc lập phương của một biểu thức khác (A2, A3,…).
- Sử dụng công thức khai căn: Áp dụng các công thức √A2 = |A|, √A3 = A√(A),… để đưa biểu thức ra ngoài dấu căn.
- Rút gọn biểu thức: Thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia để thu gọn biểu thức cuối cùng.
Lưu ý: Cần đặc biệt chú ý đến dấu của biểu thức khi đưa ra ngoài dấu căn.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a) √(49a2) với a > 0
b) √(16a4) + 3a
c) √(625a2) – 5a với a < 0
d) √(100a2) + a
Hướng dẫn giải:
a) √(49a2) = √(72a2) = |7a| = 7a (vì a > 0).
b) √(16a4) + 3a = √(42(a2)2) + 3a = |4a2| + 3a = 4a2 + 3a (vì 4a2 ≥ 0 với mọi a).
c) √(625a2) – 5a = √(252a2) – 5a = 5|5a| – 5a = 5.(-5a) – 5a = -30a (vì a < 0).
d) √(100a2) + a = √(102a2) + a = |10a| + a.
- Nếu a ≤ 0 thì |10a| = -10a , do đó √(100a2) + a = -10a + a = -9a
- Nếu a > 0 thì |10a| = 10a , do đó √(100a2) + a = 10a + a = 11a .
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: A = √(4 + 2√3) + √(4 – 2√3)
Hướng dẫn giải:
A = √(4 + 2√3) + √(4 – 2√3)
= √(3 + 2√3 + 1) + √(3 – 2√3 + 1)
= √((√3)2 + 2.√3.1 + 12) + √((√3)2 – 2.√3.1 + 12)
= √((√3 + 1)2) + √((√3 – 1)2)
= |√3 + 1| + |√3 – 1| = √3 + 1 + √3 – 1 = 2√3
Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau:
a) √(6 + √(11 + √(5 + √16)))
b) √(17 – 12√2)
Hướng dẫn giải:
a) √(6 + √(11 + √(5 + √16))) = √(6 + √(11 + √(5 + 4)))
= √(6 + √(11 + √9)) = √(6 + √(11 + 3))
= √(6 + √14) = √(6 + 2√14) = √(7+2√7√2+2) = √(√7+√2)2 = |√7+√2| = √7+√2
b) √(17 – 12√2) = √(9 – 12√2 + 8)
= √((3)2 – 2.3.2√2 + (2√2)2)
= √((3 – 2√2)2) = |3 – 2√2| = 3 – 2√2 (vì 3 > 2√2)
Bài Tập Trắc Nghiệm Tự Luyện
Bài 1: Giá trị của biểu thức √4a2 với a > 0 là:
A. 4a
B. -4a
C. 2a
D. -2a.
Đáp án: C
Lời giải: √4a2 = √(2a)2 = |2a| = 2a (vì a > 0)
Bài 2: Biểu thức √(x2 + 4x + 4) – |x| với -2 ≤ x ≤ 0 rút gọn được:
A. 2 + 2x
B. -2 – 2x
C. 2x
D. -2x.
Đáp án: A
Lời giải: √(x2 + 4x + 4) – |x| = √((x+2)2) – |x| = |x+2| – |x| = (x+2) – (-x) = 2x + 2 (Vì -2 ≤ x ≤ 0 nên x + 2 ≥ 0 và x ≤ 0)
Bài 3: Biểu thức (√(x2 – 2x + 1))/(x-1) (x > 1) bằng:
A.
B. x + 1
C. 1
D. -1.
Đáp án: C
Lời giải: (√(x2 – 2x + 1))/(x-1) = (√((x-1)2))/(x-1) = (|x-1|)/(x-1) = (x-1)/(x-1) = 1 (Vì x > 1 nên x – 1 > 0 nên |x – 1| = x – 1).
Bài 4: Biểu thức √(a2b2/(a2 – 2ab + b2)) * (a-b) (a > b > 0) rút gọn được:
A. a
B. b
C. ab
D. a2b2.
Đáp án: A
Lời giải: Với a > b > 0 thì a – b > 0 nên ta có: √(a2b2/(a2 – 2ab + b2)) (a-b) = √(a2b2/(a-b)2) (a-b) = (|ab|/|a-b|) (a-b) = (ab/(a-b)) (a-b) = a.
Bài 5: Với a thỏa mãn điều kiện xác định, biểu thức √(a2 – 4a + 4)/(a-2) rút gọn được:
A. 1
B. -1
C. (a-2)
D. -(a-2)
Đáp án: A
Lời giải: √(a2 – 4a + 4)/(a-2) = √((a-2)2)/(a-2) = |a-2|/(a-2) . Vì a ≠ 2 nên |a-2|/(a-2) = 1 (nếu a>2) hoặc -1 (nếu a<2). Đề bài không cho điều kiện của a, đáp án chính xác nhất là 1 khi a>2.
Bài 6: Rút gọn biểu thức: √(4/(a-1)2) với a < 1
Hướng dẫn giải: √(4/(a-1)2) = 2/|a-1| = 2/(1-a) (vì a < 1 nên a-1 < 0 => |a-1| = 1-a)
Bài 7: Rút gọn biểu thức: √(a2/(a2 + 2a + 1)) với a > -1
Hướng dẫn giải: √(a2/(a2 + 2a + 1)) = √(a2/(a+1)2) = |a|/|a+1| = a/(a+1) (vì a>-1 nên a+1 > 0 => |a+1| = a+1, a>0 nên |a|=a)
Bài 8: Rút gọn biểu thức: √((a-b)2/(a+b)2) với a > b >0
Hướng dẫn giải: √((a-b)2/(a+b)2) = |a-b|/|a+b| = (a-b)/(a+b) (vì a>b>0 nên a-b > 0 => |a-b|=a-b và a+b>0 => |a+b|=a+b)
Bài 9: Rút gọn biểu thức: √((x-1)2/(x2 + 2x + 1)) với x ≠ -1
Hướng dẫn giải: √((x-1)2/(x2 + 2x + 1)) = √((x-1)2/(x+1)2) = |x-1|/|x+1|
Bài 10: Rút gọn biểu thức: √(4a2b4) với a < 0
Hướng dẫn giải: √(4a2b4) = √(22a2(b2)2) = 2|a|b2 = -2ab2 (vì a<0 nên |a| = -a)
Bài 11: Rút gọn biểu thức: √(9a4b6) với b < 0
Hướng dẫn giải: √(9a4b6) = √(32(a2)2(b3)2) = 3a2|b3| = -3a2b3 (vì b<0 nên b3 < 0 => |b3| = -b3)
Bài 12: Rút gọn biểu thức: √(25x2y8) với x < 0
Hướng dẫn giải: √(25x2y8) = √(52x2(y4)2) = 5|x|y4 = -5xy4 (vì x<0 nên |x| = -x)
Bài 13: Rút gọn biểu thức: √(16a6b4) với a < 0
Hướng dẫn giải: √(16a6b4) = √(42(a3)2(b2)2) = 4|a3|b2 = -4a3b2 (vì a<0 nên a3 < 0 => |a3| = -a3)
Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, các em học sinh sẽ nắm vững phương pháp và tự tin hơn trong việc rút gọn biểu thức căn bậc hai. Chúc các em học tốt!
