Đơn Thức Một Biến: Lý Thuyết, Ví Dụ và Bài Tập Toán 7 (Kết Nối Tri Thức)

1. Đơn Thức Một Biến là Gì?

Trong toán học, đặc biệt là khi học về đại số, khái niệm “đơn thức một biến” đóng vai trò nền tảng.

Đơn thức một biến (thường gọi tắt là đơn thức) là một biểu thức đại số chỉ bao gồm tích của một số thực (hệ số) với một lũy thừa của một biến. Bậc của đơn thức chính là số mũ của lũy thừa biến đó.

Ví dụ minh họa các dạng đơn thức một biến thường gặp trong chương trình Toán lớp 7.

Ví dụ:

• 5x² là một đơn thức, trong đó:
  • 5 là hệ số.
  • 2 là bậc của đơn thức (ứng với số mũ của x).
• -12x là một đơn thức, trong đó:
  • -12 là hệ số.
  • 1 là bậc của đơn thức (vì x = x¹).
• x⁴ là một đơn thức, trong đó:
  • 1 là hệ số (vì x⁴ = 1x⁴).
  • 4 là bậc của đơn thức.

Phép toán với đơn thức cùng bậc:

• Cộng/Trừ: Để cộng hoặc trừ hai đơn thức cùng bậc, ta thực hiện cộng hoặc trừ các hệ số của chúng, và giữ nguyên phần biến và bậc. Kết quả là một đơn thức mới.

  • Ví dụ:
    • 2x³ + 7x³ = (2 + 7)x³ = 9x³
    • -4x⁵ - x⁵ = (-4 - 1)x⁵ = -5x⁵

• Nhân: Để nhân hai đơn thức bất kỳ, ta nhân các hệ số với nhau và nhân các lũy thừa của biến với nhau. Kết quả là một đơn thức mới.

  • Ví dụ: -3x² * (2/3)x = (-3 * 2/3) * (x² * x) = -2x³

Lưu ý quan trọng:

• Một số khác 0 (ví dụ: 3) được coi là đơn thức bậc 0 (vì 3 = 3x⁰).
• Số 0 cũng được coi là một đơn thức, nhưng nó không có bậc.

2. Đa Thức Một Biến: Mở Rộng từ Đơn Thức

Đa thức một biến (gọi tắt là đa thức) là tổng của nhiều đơn thức của cùng một biến. Mỗi đơn thức trong tổng được gọi là một hạng tử của đa thức đó.

Ảnh minh họa một bài toán yêu cầu thu gọn và sắp xếp đa thức một biến, một kỹ năng quan trọng trong đại số.

Ví dụ:

• -4x⁴ + 2x - 10 là một đa thức một biến, với các hạng tử là -4x⁴, 2x, và -10.
• Bản thân các đơn thức như x⁴, 2x, -1 cũng là các đa thức.

Lưu ý:

• Đa thức thường được ký hiệu bằng các chữ cái in hoa, ví dụ: P(x), Q(x), A(x),…
• Số 0 cũng được coi là một đa thức, được gọi là đa thức không.

3. Đa Thức Thu Gọn: Tối Ưu Biểu Thức

Một đa thức thu gọn là đa thức không chứa hai hạng tử nào có cùng bậc. Nếu một đa thức có chứa các hạng tử đồng dạng (cùng bậc), ta cần thu gọn nó.

Ví dụ:

• A = 5x² + 6x³ - x + 1 là một đa thức thu gọn (không có hạng tử nào cùng bậc).
• B = -3x² - 12 + x⁵ + x² - 2x⁴ là một đa thức chưa thu gọn (có -3x² và x² cùng bậc).

Cách thu gọn đa thức:

1. Xác định các hạng tử đồng dạng (các đơn thức có cùng phần biến và bậc).
2. Kết hợp các hạng tử đồng dạng bằng cách cộng hoặc trừ hệ số của chúng.

Ví dụ, thu gọn đa thức B ở trên:

B = -3x² - 12 + x⁵ + x² - 2x⁴

= (-3x² + x²) - 12 + x⁵ - 2x⁴ (Đổi chỗ và nhóm các hạng tử đồng dạng)

= (-3 + 1)x² - 12 + x⁵ - 2x⁴ (Cộng các hệ số của các hạng tử đồng dạng)

= -2x² - 12 + x⁵ - 2x⁴ (Đa thức đã thu gọn)

4. Sắp Xếp Đa Thức: Tạo Sự Thuận Tiện

Để thuận tiện cho việc tính toán và so sánh, các đa thức (khác đa thức 0) thường được viết ở dạng thu gọn và sắp xếp các hạng tử theo lũy thừa giảm dần (hoặc tăng dần) của biến.

Ví dụ:

• Sắp xếp đa thức P = 7x² - 3x + 1 - 2x⁴ theo lũy thừa giảm dần của biến:

  P = -2x⁴ + 7x² - 3x + 1

• Đa thức P = -2x⁴ + 7x² - 3x + 1 có hạng tử bậc 4 và bậc 2, nhưng khuyết hạng tử bậc 3. Khi cần thiết, ta có thể viết:

  P = -2x⁴ + 0x³ + 7x² - 3x + 1

Lưu ý:

• Ta cũng có thể sắp xếp đa thức theo lũy thừa tăng dần của biến. Ví dụ:

  P = 1 - 3x + 7x² - 2x⁴ (sắp xếp theo lũy thừa tăng dần)

5. Bậc và Hệ Số của Đa Thức: Xác Định Đặc Trưng

Trong một đa thức thu gọn (và khác đa thức 0):

• Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất.
• Hệ số cao nhất của đa thức là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất.
• Hệ số tự do của đa thức là hệ số của hạng tử bậc 0 (hằng số).

Ảnh minh họa bài giảng powerpoint về đa thức một biến, giúp học sinh dễ dàng hình dung các khái niệm.

Ví dụ:

Cho đa thức Q = 2x³ - 3x² - x - 2x³ + 7. Để xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do, ta làm như sau:

1. Thu gọn đa thức Q:

   Q = 2x³ - 3x² - x - 2x³ + 7

   = (2x³ - 2x³) - 3x² - x + 7

   = -3x² - x + 7

2. Xác định các yếu tố:

   • Hạng tử có bậc cao nhất là -3x², vậy bậc của đa thức Q là 2, hệ số cao nhất là -3.
   • Hạng tử bậc 0 là 7 (vì 7 = 7x⁰), vậy hệ số tự do là 7.

Lưu ý:

• Đa thức không là đa thức không có bậc.
• Trong một đa thức thu gọn, hệ số cao nhất phải khác 0 (các hệ số khác có thể bằng 0).
• Để tìm bậc của một đa thức chưa thu gọn, ta phải thu gọn nó trước.

6. Nghiệm của Đa Thức Một Biến: Giá Trị Đặc Biệt

Nếu tại x = a (với a là một số), đa thức F(x) có giá trị bằng 0, tức là F(a) = 0, thì ta nói a (hoặc x = a) là một nghiệm của đa thức F(x).

Ví dụ:

• Đa thức F(x) = x² - 4 có hai nghiệm là x = 2 và x = -2, vì:

  F(2) = 2² - 4 = 0

  F(-2) = (-2)² - 4 = 0

• Đa thức G(x) = 1 + x² không có nghiệm, vì x² ≥ 0 với mọi giá trị của x, nên G(x) = 1 + x² ≥ 1 > 0.

• Đa thức P(x) = x² + x có hệ số tự do bằng 0. Ta có P(0) = 0² + 0 = 0. Do đó, x = 0 là một nghiệm của đa thức.

Lưu ý:

• Một đa thức có thể có nhiều nghiệm, một nghiệm duy nhất, hoặc không có nghiệm nào.
• Nếu một đa thức có hệ số tự do bằng 0, thì x = 0 chắc chắn là một nghiệm của đa thức đó.

Bài Tập Vận Dụng

Bài 1. Thực hiện các phép tính và xác định hệ số và bậc của đơn thức kết quả:

a) -1/2x * 8x³

b) 1/2x² - 3/2x²

c) 1/8x⁵ * 2x³

d) -9x⁴ + (2x²)²

Hướng dẫn giải:

a) -1/2x * 8x³ = -1/2 * 8 * x * x³ = -4x⁴. Hệ số: -4, bậc: 4.

b) 1/2x² - 3/2x² = (1/2 - 3/2)x² = -x². Hệ số: -1, bậc: 2.

c) 1/8x⁵ * 2x³ = 1/8 * 2 * x⁵ * x³ = 1/4x⁸. Hệ số: 1/4, bậc: 8.

d) -9x⁴ + (2x²)² = -9x⁴ + 4x⁴ = (-9 + 4)x⁴ = -5x⁴. Hệ số: -5, bậc: 4.

Bài 2. Cho hai đa thức:

P(x) = -2x⁴ - 7x + 12 - 6x⁴ + 2x² - x

Q(x) = 3x³ - x⁴ - 5x² + x³ - 6x + 9 + x⁴

a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức.

Hướng dẫn giải:

a)

P(x) = -2x⁴ - 7x + 12 - 6x⁴ + 2x² - x

= (-2x⁴ - 6x⁴) + 2x² + (-7x - x) + 12

= -8x⁴ + 2x² - 8x + 12

Q(x) = 3x³ - x⁴ - 5x² + x³ - 6x + 9 + x⁴

= (-x⁴ + x⁴) + (3x³ + x³) - 5x² - 6x + 9

= 4x³ - 5x² - 6x + 9

b)

• P(x): Bậc 4, hệ số cao nhất -8, hệ số tự do 12.
• Q(x): Bậc 3, hệ số cao nhất 4, hệ số tự do 9.

Bài 3. Cho đa thức A(x) = x² - 4x - 5. Trong các số -1, 0, 1, số nào là nghiệm của đa thức A(x)?

Hướng dẫn giải:

• A(-1) = (-1)² - 4*(-1) - 5 = 1 + 4 - 5 = 0. Vậy -1 là nghiệm của A(x).
• A(0) = 0² - 4*0 - 5 = -5. Vậy 0 không là nghiệm của A(x).
• A(1) = 1² - 4*1 - 5 = 1 - 4 - 5 = -8. Vậy 1 không là nghiệm của A(x).

Lời Kết

Hiểu rõ về đơn thức một biến và đa thức một biến là rất quan trọng để học tốt môn Toán lớp 7 và các lớp cao hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững các khái niệm và kỹ năng liên quan.