Trong hình học vectơ, phép Trừ Hai Vectơ là một khái niệm quan trọng, mở rộng từ phép cộng vectơ. Nó không chỉ là một phép toán đơn thuần mà còn là công cụ hữu ích để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến vectơ. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về phép trừ hai vectơ, từ định nghĩa, tính chất đến các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện.
Định Nghĩa và Quy Tắc Trừ Vectơ
Vectơ Đối
Vectơ đối của một vectơ a là một vectơ có cùng độ dài nhưng ngược hướng với a. Vectơ đối của a được ký hiệu là –a.
Vectơ đối của vectơ 0 là chính nó. Vectơ đối của vectơ AB là vectơ BA.
Hiệu Hai Vectơ
Hiệu của hai vectơ a và b, ký hiệu là a – b, được định nghĩa là tổng của vectơ a và vectơ đối của b.
a – b = a + (-b)
Phép toán này được gọi là phép trừ hai vectơ.
Quy Tắc Hiệu Hai Vectơ
Cho vectơ MN, với điểm O bất kỳ, ta luôn có:
MN = ON – OM
Đây là một quy tắc quan trọng giúp biểu diễn một vectơ thông qua hiệu của hai vectơ khác.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt. Chứng minh rằng:
AB – AC = DB – DC
Hướng dẫn giải:
Ta có: AB – AC = CB (1) (theo quy tắc hiệu hai vectơ)
Lại có: DB – DC = CB (2) (vectơ đối)
Từ (1) và (2) suy ra: AB – AC = DB – DC (đpcm)
Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD, tính các vectơ sau:
AB – AD, BC – BA, DC – DA
Hướng dẫn giải:
AB – AD = DB
BC – BA = AC
DC – DA = AC
Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD có cạnh là a. Độ dài của vectơ AB – AD là:
A. a
B. 2a
C. a√2
D. a√3
Hướng dẫn giải:
Ta có: AB – AD = DB (quy tắc về hiệu hai vectơ)
Suy ra |AB – AD| = |DB|
Vì ABCD là hình vuông cạnh a, đường chéo DB = a√2
Vậy độ dài vecto AB – AD = a√2
Đáp án C
Ví dụ 4: Cho các điểm A, B, C, D, E, F. Rút gọn biểu thức sau:
AB + CD – EB – DE + CA
Hướng dẫn giải:
AB + CD – EB – DE + CA = AB + CD + BE + ED + CA
= (AB + BE) + (CD + ED) + CA
= AE + CE + CA
= AE + EA = 0
Ví dụ 5: Cho các điểm A, B, C, M, N, X phân biệt. Chọn kết quả sai:
A. AA = 0
B. MA – MB = BA
C. Nếu A, B phân biệt thì AB = 0
D. CA – CB = BA
Hướng dẫn giải:
+ Ta có: AA = 0 => A đúng
+ Lại có: MA – MB = BA theo quy tắc hiệu hai vecto => B đúng
+ C sai (vì A, B phân biệt nên AB ≠ 0)
+ CA – CB = BA theo quy tắc ba điểm => D đúng
Đáp án C
Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Cho hình vuông ABCD có tâm O. Tìm vectơ đối của các vectơ AB, AO.
Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Tính các hiệu CB – AB, AD – AB, CO – DO
Bài 3. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính |CB – BA|
Bài 4. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn |AB + AC| = |AB – AC| thì tam giác ABC là tam giác vuông.
Bài 5. Cho ba điểm M, N, E tùy ý. Biết khoảng cách giữa E và N là 6a. Tính độ dài các vectơ |MN – ME|, |NM – EM|.
Bài 6. Cho 4 điểm A, B, C, D tùy ý. Tính hiệu AB – CD – DB – AC.
Bài 7. Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Tính hiệu AM – AN
Bài 8. Cho 5 điểm A, B, C, D, E tùy ý. Chứng minh đẳng thức sau:
AC + DE – DC – CE + CB = AB
Bài 9. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Chứng minh rằng: DA – DB = OD – OC.
Bài 10. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O . Biết AB = 2a, AD = a. Tính |AD – CD|.
Kết Luận
Phép trừ hai vectơ là một công cụ mạnh mẽ trong hình học vectơ, giúp giải quyết nhiều bài toán phức tạp. Việc nắm vững định nghĩa, quy tắc và các ví dụ minh họa sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc ứng dụng phép trừ vectơ vào giải toán. Hãy luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.
