Trong chương trình hình học không gian, khái niệm về khối tròn xoay và đặc biệt là Tính Thể Tích Khối Tròn Xoay đóng vai trò quan trọng. Vậy khối tròn xoay là gì và làm thế nào để tính thể tích của chúng một cách chính xác?
Khối tròn xoay được hình thành khi quay một mặt phẳng quanh một trục cố định. Các hình khối như nón, cầu, và trụ là những ví dụ điển hình về khối tròn xoay mà bạn đã được làm quen.
Thể tích của một khối hình, bao gồm cả khối tròn xoay, biểu thị lượng không gian mà nó chiếm giữ. Để tính thể tích khối tròn xoay, chúng ta có thể sử dụng các công thức tích phân, tùy thuộc vào trục quay và hàm số tạo thành hình.
Công Thức Tính Thể Tích Khối Tròn Xoay Quanh Trục Ox
Để tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox, ta xem xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Khối tròn xoay được tạo bởi:
- Đường cong y = f(x)
- Trục hoành y = 0
- Các đường thẳng x = a và x = b
Công thức tính thể tích khối tròn xoay trong trường hợp này là:
Trường hợp 2: Khối tròn xoay được tạo bởi hai đường cong y = f(x) và y = g(x), với g(x) ≤ f(x) trên đoạn [a, b], trục Ox và các đường thẳng x = a và x = b. Khi đó, công thức tính thể tích khối tròn xoay là:
Công Thức Tính Thể Tích Khối Tròn Xoay Quanh Trục Oy
Tương tự, để tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Oy, ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Khối tròn xoay được tạo bởi đường cong x = g(y), trục tung (x = 0), và các đường thẳng y = c và y = d.
Trong trường hợp này, thể tích khối tròn xoay được tính bằng công thức:
Trường hợp 2: Khối tròn xoay được tạo bởi hai đường cong x = f(y) và x = g(y), với g(y) ≤ f(y) trên đoạn [c, d], trục Oy, và các đường thẳng y = c và y = d. Khi đó, công thức tính thể tích khối tròn xoay là:
Bài Tập Vận Dụng Tính Thể Tích Khối Tròn Xoay
Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng các công thức trên, hãy cùng xem xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = 1 – x², trục Ox, x = 0 và x = 1 quanh trục Ox.
Giải:
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox:
Ta có:
Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong x = 2/y, trục Oy, y = 1 và y = 4 quanh trục Oy.
Ví dụ 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = √x, y = -x + 2 và y = 0 quanh trục Oy.
Ví dụ 4: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục Ox và đường thẳng x = 1. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay (H) quanh trục Ox.
Ví dụ 5: Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành bằng cách quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , y = 0, x = 4 và trục Ox. Đường thẳng x = a (0 < a < 4) cắt đồ thị hàm số tại M.
Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay tam giác MOH quanh trục Ox. Biết rằng V = 2V1. Tính a?
Hy vọng rằng, với các công thức và ví dụ minh họa trên, bạn đã nắm vững kiến thức về tính thể tích khối tròn xoay và có thể giải quyết các bài tập liên quan một cách dễ dàng.
