Việc xác định tọa độ giao điểm giữa parabol và đường thẳng là một bài toán quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết, các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
A. Phương Pháp Tìm Tọa Độ Giao Điểm
Để tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d), ta thực hiện theo các bước sau:
-
Lập phương trình hoành độ giao điểm: Cho vế phải của phương trình parabol bằng vế phải của phương trình đường thẳng. Phương trình này có dạng:
ax² = bx + c(hoặc các dạng tương tự tùy thuộc vào đề bài) -
Giải phương trình hoành độ: Giải phương trình bậc hai vừa lập được để tìm ra các giá trị của
x(hoành độ giao điểm). Số nghiệm của phương trình này cho biết số giao điểm của parabol và đường thẳng.- Nếu phương trình có 2 nghiệm phân biệt: (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm.
- Nếu phương trình có nghiệm kép: (P) và (d) tiếp xúc nhau.
- Nếu phương trình vô nghiệm: (P) và (d) không giao nhau.
-
Tìm tung độ giao điểm: Với mỗi giá trị
xtìm được ở bước 2, thay vào phương trình của parabol hoặc đường thẳng để tính giá trị tương ứng củay(tung độ giao điểm). Lưu ý, nên chọn phương trình đơn giản hơn để tính toán. -
Kết luận: Viết tọa độ các giao điểm tìm được dưới dạng
(x; y).
B. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của parabol y = x² và đường thẳng y = 2x - 1.
Phương trình hoành độ giao điểm: x² = 2x - 1
Giải phương trình: x² - 2x + 1 = 0 => (x - 1)² = 0 => x = 1
Tìm tung độ: Thay x = 1 vào y = x² ta được y = 1² = 1
Kết luận: Tọa độ giao điểm là (1; 1). Chọn C
Ví dụ 2: Cho parabol (P): y = mx² và đường thẳng (d): y = (m + 1)x + 3, với m là tham số (m ≠ 0, m ≠ -1). Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 1.
Khi m = 1, ta có: (P): y = x² và (d): y = 2x + 3
Phương trình hoành độ giao điểm: x² = 2x + 3
Giải phương trình: x² - 2x - 3 = 0 => (x - 3)(x + 1) = 0 => x = 3 hoặc x = -1
Tìm tung độ:
* Với `x = 3`: `y = 3² = 9`
* Với `x = -1`: `y = (-1)² = 1`Kết luận: Tọa độ giao điểm là (3; 9) và (-1; 1). Chọn B
Ví dụ 3: Tìm tọa độ giao điểm của parabol y = x² và đường thẳng y = 2x - (m² + 1) (m là tham số, m ≠ 0).
Phương trình hoành độ giao điểm: x² = 2x - (m² + 1)
Giải phương trình: x² - 2x + (m² + 1) = 0
Tính delta: Δ' = (-1)² - (m² + 1) = 1 - m² - 1 = -m²
Vì m ≠ 0 nên Δ' < 0. Phương trình vô nghiệm.
Kết luận: Parabol và đường thẳng không có giao điểm. Chọn D
C. Bài Tập Vận Dụng
Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm của parabol y = 2x² và đường thẳng y = 4x - 3.
Lời giải: Đáp án D
Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm của parabol y = 2x² và đường thẳng y = x + 1.
Lời giải: Đáp án A
Bài 3: Parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = -6x - 9 tiếp xúc nhau tại điểm có tọa độ là:
Lời giải: Đáp án A
Bài 4: Đường thẳng y = -3x + 1 cắt parabol y = x² - 2x - 2 tại hai điểm phân biệt có tọa độ lần lượt là:
Lời giải: Đáp án D
Bài 5: Tìm tọa độ giao điểm của parabol y = x² và đường thẳng y = -x - 1/4.
Lời giải: Đáp án D
Bài 6: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 2x + 3, với m là tham số. Tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 1 là:
Lời giải: Đáp án B
Bài 7: Cho parabol (P): y = 4x² và đường thẳng (d): y = 4x - 1. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d).
Lời giải: Đáp án B
Bài 8: Cho parabol (P): y = -1/4 x² và đường thẳng (d): y = mx - 1 với m là tham số sao cho đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P). Tọa độ của tiếp điểm là:
Lời giải: Đáp án C
Bài 9: Cho parabol (P): y = -x² và đường thẳng (d): y = 4x + m, với m là tham số sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Tìm tọa độ của hai giao điểm là:
Lời giải: Đáp án D
Bài 10: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = -2x + 1 - m², với m là tham số sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Tìm tọa độ của các giao điểm là:
Lời giải: Đáp án A
Hy vọng qua bài viết này, bạn đã nắm vững phương pháp và tự tin giải các bài toán tìm tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng. Chúc các bạn học tốt!
