Tâm sai là một đặc trưng quan trọng của các đường conic, bao gồm elip, hypebol và parabol. Trong đó, parabol có một đặc điểm riêng biệt về tâm sai. Bài viết này sẽ tập trung vào Tâm Sai Của Parabol, cách xác định và ứng dụng của nó trong các bài toán liên quan.
Định Nghĩa và Giá Trị Tâm Sai của Parabol
Tâm sai, ký hiệu là e, là một số không âm đặc trưng cho hình dạng của một đường conic. Về mặt hình học, tâm sai được định nghĩa là tỷ số giữa khoảng cách từ một điểm trên đường conic đến tiêu điểm và khoảng cách từ điểm đó đến đường chuẩn.
Đối với parabol, tâm sai luôn bằng 1 (e = 1). Đây là một tính chất quan trọng giúp phân biệt parabol với các đường conic khác như elip (e < 1) và hypebol (e > 1).
Xác Định Các Yếu Tố của Parabol
Để xác định các yếu tố của parabol, ta cần nắm vững phương trình chính tắc của nó. Parabol có dạng phương trình chính tắc là:
- y2 = 2px
Trong đó:
- p là tham số tiêu của parabol (khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm).
- Tiêu điểm F của parabol có tọa độ là (p/2; 0).
- Đường chuẩn Δ của parabol có phương trình là x = –p/2.
Ví dụ Minh Họa
Xét phương trình parabol: y2 = 7x.
Từ phương trình, ta có 2p = 7, suy ra p = 7/2.
Vậy:
- Tiêu điểm F của parabol có tọa độ là (7/4; 0).
- Đường chuẩn Δ của parabol có phương trình là x = -7/4.
- Tâm sai của parabol là e = 1.
Ứng Dụng của Tâm Sai trong Bài Toán
Việc nắm vững tâm sai của parabol giúp chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến việc xác định phương trình parabol, tìm tiêu điểm, đường chuẩn, và các yếu tố khác.
Ví dụ, nếu biết một điểm nằm trên parabol và khoảng cách từ điểm đó đến tiêu điểm, ta có thể sử dụng định nghĩa tâm sai để tìm khoảng cách từ điểm đó đến đường chuẩn, từ đó xác định được các yếu tố còn lại của parabol.
Bài Tập Vận Dụng
Bài tập: Cho parabol (P): y2 = 4x.
a) Xác định tiêu điểm và đường chuẩn của (P).
b) Tìm điểm M trên (P) sao cho khoảng cách từ M đến tiêu điểm bằng 5.
Lời giải:
a) Từ phương trình y2 = 4x, ta có 2p = 4, suy ra p = 2.
- Tiêu điểm F của parabol có tọa độ là (1; 0).
- Đường chuẩn Δ của parabol có phương trình là x = -1.
b) Gọi M(x; y) là điểm nằm trên (P). Theo đề bài, MF = 5.
Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến điểm, ta có:
MF = √((x – 1)2 + y2) = 5
Vì M nằm trên (P) nên y2 = 4x. Thay vào phương trình trên, ta được:
√((x – 1)2 + 4x) = 5
(x – 1)2 + 4x = 25
x2 – 2x + 1 + 4x = 25
x2 + 2x – 24 = 0
Giải phương trình bậc hai, ta được x = 4 hoặc x = -6. Vì x ≥ 0 (do y2 = 4x), nên x = 4.
Khi x = 4, y2 = 4 * 4 = 16, suy ra y = 4 hoặc y = -4.
Vậy có hai điểm M thỏa mãn là M(4; 4) và M(4; -4).
Kết Luận
Tâm sai là một khái niệm quan trọng trong việc nghiên cứu các đường conic, đặc biệt là parabol. Việc hiểu rõ định nghĩa, tính chất và ứng dụng của tâm sai giúp chúng ta giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về tâm sai của parabol.
