Trọng Tâm G Của Tam Giác Abc là một điểm đặc biệt, có vai trò quan trọng trong hình học. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về cách xác định tọa độ trọng tâm, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để bạn nắm vững kiến thức.
A. Công Thức Tọa Độ Trọng Tâm Tam Giác
Cho tam giác ABC với tọa độ các đỉnh là A(xA; yA), B(xB; yB), và C(xC; yC). Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC, thì tọa độ của G được tính theo công thức:
xG = (xA + xB + xC) / 3
yG = (yA + yB + yC) / 3
B. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với A(2; 0), B(0; 4), C(1; 3).
a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
a) Tính vectơ AB và AC:
AB = (-2; 4)
AC = (-1; 3)
Vì AB và AC không cùng phương (tức là tỉ lệ của các thành phần tương ứng không bằng nhau: -2/-1 ≠ 4/3), suy ra A, B, C không thẳng hàng. Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b) Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm:
xG = (2 + 0 + 1) / 3 = 1
yG = (0 + 4 + 3) / 3 = 7/3
Vậy tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là G(1; 7/3).
Ví dụ 2: Cho tam giác DEF với D(-4; 1), E(2; 4) và F(2; -2).
a) Tìm tọa độ trọng tâm H của tam giác DEF.
b) Tìm tọa độ điểm K sao cho F là trọng tâm tam giác DEK.
Hướng dẫn giải:
a) Tọa độ trọng tâm H của tam giác DEF là:
xH = (-4 + 2 + 2) / 3 = 0
yH = (1 + 4 – 2) / 3 = 1
Vậy H(0; 1).
b) Gọi K(xK; yK). Vì F là trọng tâm tam giác DEK, ta có:
Thay số:
2 = (-4 + 2 + xK) / 3 => xK = 8
-2 = (1 + 4 + yK) / 3 => yK = -11
Vậy K(8; -11).
Ví dụ 3: Tam giác ABC có C(-2; -4), trọng tâm G(0; 4), trung điểm BC là M(2; 0). Tìm tọa độ của đỉnh A và đỉnh B.
Hướng dẫn giải:
Vì M là trung điểm BC nên:
xB = 2xM – xC = 22 – (-2) = 6
yB = 2yM – yC = 20 – (-4) = 4
Vậy B(6; 4).
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:
xA = 3xG – xB – xC = 30 – 6 – (-2) = -4
yA = 3yG – yB – yC = 34 – 4 – (-4) = 12
Vậy A(-4; 12).
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; -1), B(5; -3) và C thuộc trục Oy, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trục Ox. Tìm tọa độ của điểm C.
Hướng dẫn giải:
Vì C thuộc trục Oy nên C(0; c). Vì G thuộc trục Ox nên G(g; 0).
G là trọng tâm của tam giác ABC nên:
g = (1 + 5 + 0) / 3 = 2
0 = (-1 – 3 + c) / 3 => c = 4
Vậy C(0; 4).
Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(2; 0), N(2; 2), P(-1; 3) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm B.
Hướng dẫn giải:
Gọi A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC).
M là trung điểm của BC nên:
(1)
N là trung điểm của AC nên:
(2)
P là trung điểm của AB nên:
(3)
Cộng vế theo vế (1), (2) và (3):
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra:
Suy ra:
xB = 3xN – 2xG = 32 – 23 = 0
yB = 3yN – 2yG = 32 – 22 = 2
Vậy B(0;2)
C. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Cho tam giác ABC có A(2; 3), B(1; 4), C(5; 7). Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
Bài 2. Cho tam giác ABC có A(1; 5), B(–1; 3), C(2; 6). Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
Bài 3. Tam giác ABC có C(2; 3), trọng tâm G(0; 2), trung điểm BC là M(–2; 1). Tìm tọa độ của đỉnh A và đỉnh B.
Bài 4. Cho tam giác ABC có A(2; –2), B(3; 5) và C thuộc trục Oy, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trục Ox. Tìm tọa độ của điểm C.
Bài 5. Cho tam giác ABC có A(3; 1), B(2; 6) và C thuộc trục Ox, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trục Oy. Tìm tọa độ của điểm C.
Bài 6. Cho tam giác ABC có A(1; 6), B(3; 5), C(–1; 3). Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
Bài 7. Cho tam giác ABC có A(–2; 5), B(2; 4), C(1; 3). Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
Bài 8. Tam giác ABC có C(1; 1), trọng tâm G(3; 2), trung điểm BC là M(0; 6). Tìm tọa độ của đỉnh A và đỉnh B.
Bài 9. Cho tam giác ABC có A(1; 7), B(2; –3) và C thuộc trục Oy, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trục Ox. Tìm tọa độ của điểm C.
Bài 10. Cho tam giác ABC có A(5; 8), B(–2; 3) và C thuộc trục Ox, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trục Oy. Tìm tọa độ của điểm C.
