Bài viết này tổng hợp và giới thiệu các Công Thức Thể Tích Tứ Diện nhanh nhất cho một số trường hợp đặc biệt thường gặp trong chương trình học và các kỳ thi. Bên cạnh đó, bài viết cũng trình bày công thức tổng quát tính thể tích khối tứ diện bất kỳ khi biết độ dài tất cả 6 cạnh.
Alt: Combo luyện thi THPT Quốc Gia 2024 môn Toán tại Vted, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập thể tích tứ diện.
Công Thức Tổng Quát Tính Thể Tích Tứ Diện
Cho tứ diện $ABCD$ với $BC=a, CA=b, AB=c, AD=d, BD=e, CD=f$. Thể tích của tứ diện được tính theo công thức sau:
$V=dfrac{1}{12}sqrt{M+N+P-Q}$
Trong đó:
$M = a^2d^2(b^2 + e^2 + c^2 + f^2 – a^2 – d^2)$
$N = b^2e^2(a^2 + d^2 + c^2 + f^2 – b^2 – e^2)$
$P = c^2f^2(a^2 + d^2 + b^2 + e^2 – c^2 – f^2)$
$Q = (abc)^2 + (aef)^2 + (bdf)^2 + (cde)^2$
Các Trường Hợp Đặc Biệt Của Công Thức Thể Tích Tứ Diện
1. Thể Tích Tứ Diện Đều
Tứ diện đều cạnh $a$ có thể tích: $V = dfrac{a^3sqrt{2}}{12}$.
Ví dụ: Tứ diện đều có chiều cao $h$. Thể tích tứ diện là bao nhiêu?
Giải: $V = dfrac{sqrt{3}h^3}{8}$.
2. Thể Tích Tứ Diện Vuông
Tứ diện $ABCD$ có $AB, AC, AD$ đôi một vuông góc và $AB=a, AC=b, AD=c$. Khi đó, thể tích tứ diện là: $V = dfrac{1}{6}abc$.
3. Thể Tích Tứ Diện Gần Đều
Tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=a, BC=AD=b, AC=BD=c$. Thể tích được tính như sau:
$V=dfrac{sqrt{2}}{12}.sqrt{(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(a^2+c^2-b^2)}$
Alt: Khóa học luyện thi THPT Quốc Gia 2024 môn Toán tại Vted, cung cấp kiến thức chuyên sâu về hình học không gian và công thức tính nhanh thể tích.
Ví dụ: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=8, AD=BC=5, AC=BD=7$. Tính thể tích tứ diện.
Giải: $V = dfrac{20sqrt{11}}{3}$.
4. Thể Tích Tứ Diện Khi Biết Khoảng Cách và Góc Giữa Cặp Cạnh Đối Diện
Tứ diện $ABCD$ có $AD = a, BC = b$, khoảng cách giữa $AD$ và $BC$ là $d$, góc giữa $AD$ và $BC$ là $alpha$. Thể tích tứ diện là: $V = dfrac{1}{6}abdsinalpha$.
5. Thể Tích Tứ Diện Khi Biết Diện Tích Hai Mặt Kề Nhau
Alt: Hình ảnh minh họa công thức thể tích tứ diện khi biết diện tích hai mặt và góc giữa chúng, kiến thức quan trọng trong chương trình hình học không gian.
Công thức tính thể tích: $V = dfrac{2S_1S_2sinalpha}{3c}$, trong đó $S_1, S_2$ là diện tích hai mặt kề nhau, $alpha$ là góc giữa hai mặt đó, và $c$ là độ dài cạnh chung của hai mặt.
6. Thể Tích Tứ Diện Khi Biết Các Góc Tại Cùng Một Đỉnh
Khối chóp $S.ABC$ có $SA=a, SB=b, SC=c, widehat{BSC}=alpha, widehat{CSA}=beta, widehat{ASA}=gamma$. Thể tích được tính theo công thức:
$V=dfrac{abc}{6}sqrt{1+2cosalphacosbetacosgamma – cos^2alpha – cos^2beta – cos^2gamma}$
Alt: Hình ảnh minh họa công thức tính thể tích tứ diện khi biết các cạnh và góc tại một đỉnh, công cụ hữu ích cho việc giải nhanh các bài toán trắc nghiệm.
