Trong hình học vectơ, khái niệm “Hai Vectơ Cùng Phương” đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết nhiều bài toán liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng và không gian. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về định nghĩa, điều kiện để hai vectơ cùng phương, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để giúp bạn nắm vững kiến thức này.
A. Định Nghĩa và Điều Kiện Hai Vectơ Cùng Phương
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. “Giá” của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.
Để chứng minh hai vectơ cùng phương, chúng ta có hai phương pháp chính:
- Chứng minh hình học: Chứng minh giá của hai vectơ song song hoặc trùng nhau.
- Chứng minh đại số: Chứng minh tồn tại một số thực k khác 0 sao cho vectơ a→ = k.b→. Số k này thể hiện mối quan hệ tỉ lệ giữa độ dài và hướng của hai vectơ. Nếu k > 0, hai vectơ cùng hướng; nếu k < 0, hai vectơ ngược hướng.
B. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho vectơ u→ = 2a→ + b→ và vectơ v→ = -6a→ – 3b→. Xác định mối quan hệ giữa hai vectơ u→ và v→.
Giải:
Ta có: v→ = -6a→ – 3b→ = -3(2a→ + b→) = -3u→.
Vì v→ = -3u→ nên hai vectơ u→ và v→ cùng phương và ngược hướng.
Ví dụ 2: Cho ba vectơ a→, b→, c→ không đồng phẳng. Xét các vectơ x→ = 2a→ – b→, y→ = -4a→ + 2b→, z→ = -3b→ – 2c→. Xác định cặp vectơ nào cùng phương.
Giải:
Nhận thấy: y→ = -2(2a→ – b→) = -2x→.
Vậy hai vectơ x→, y→ cùng phương.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, O là giao điểm của AC và BD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
A. Nếu SA→ + SB→ + 2SC→ + 2SD→ = 6SO→ thì ABCD là hình thang.
B. Nếu ABCD là hình bình hành thì SA→ + SB→ + SC→ + SD→ = 4SO→.
C. Nếu ABCD là hình thang thì SA→ + SB→ + 2SC→ + 2SD→ = 6SO→.
D. Nếu SA→ + SB→ + SC→ + SD→ = 4SO→ thì ABCD là hình bình hành.
Giải:
Phân tích:
- Khẳng định A: Đúng, vì từ biểu thức vectơ, ta suy ra được mối quan hệ giữa các vectơ OA→, OB→, OC→, OD→, từ đó chứng minh được ABCD là hình thang.
- Khẳng định B: Đúng, vì trong hình bình hành, O là trung điểm của AC và BD, nên SA→ + SC→ = 2SO→ và SB→ + SD→ = 2SO→.
- Khẳng định C: Sai, vì điều này không đúng với mọi hình thang (ví dụ, hình thang cân).
- Khẳng định D: Đúng, vì từ biểu thức vectơ, ta suy ra O là trung điểm của cả AC và BD, chứng tỏ ABCD là hình bình hành.
Ví dụ 4: Cho hai vectơ a→ và b→ không cùng phương; u→ = 2a→ – 3b→ và v→ = 3a→ – 9/2 b→. Xét xem hai vectơ u→ và v→ có cùng phương không?
Giải:
Ta có: v→ = 3/2 (2a→ – 3b→) = 3/2 u→
Vậy hai vectơ u→ và v→ cùng phương và cùng hướng.
Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’; M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh AN→ và MC→ là hai vectơ cùng phương.
Giải:
Xét tứ giác AMCN:
- AM = CN = (1/2)AD = (1/2)BC
- AM // CN
=> Tứ giác AMCN là hình bình hành.
=> AN // MC.
Vậy AN→ và MC→ là hai vectơ cùng phương.
Ví dụ 6: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’; I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’. Xác định vectơ nào cùng hướng với IJ→?
Giải:
Ta có ACC’A’ là hình bình hành, I và J là trung điểm của AC và A’C’ => IJ là đường trung bình của hình bình hành ACC’A’.
=> IJ // AA’ // CC’.
=> AA’→ cùng hướng với IJ→.
C. Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Cho hai vectơ a→ và b→ không cùng phương; u→ = a→ – 2b→ và v→ = 3a→ – 6b→. Xét xem hai vectơ u→ và v→ có cùng phương không?
Câu 2: Cho hai điểm phân biệt A, B và một điểm O bất kỳ không thuộc đường thẳng AB. Khi nào điểm M thuộc đường thẳng AB?
Câu 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Xác định vị trí các điểm M, N lần lượt trên AC và DC’ sao cho MN // BD’. Tính tỉ số MN/BD’.
Câu 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’; I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’. Xác định vectơ nào cùng hướng với IJ→?
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC, M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SC, SB, AB và AC. Mệnh đề nào đúng?
D. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1: Cho c→(2;1), d→(-6;m). Tìm m để c→ và d→ là hai vectơ cùng phương.
Bài 2: Cho x→(-1;3), y→(2;a). Tìm tọa độ của u→ biết 2x→ = 3y→ – u→ và u→ cùng phương với v→(-2;1).
Bài 3: Cho a→(2;-3), b→(1;2), c→(3;-7). Tính m→ = 2a→ – 3b→ và xét xem m→ và c→ có phải là hai vectơ cùng phương không?
Bài 4: Cho m→(x;-2), n→(3;1). Tìm x để m→ và n→ là hai vectơ cùng phương.
Bài 5: Cho tam giác ABC. M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Khi đó MN→ cùng phương với vectơ nào?
Bài 6: Trong hình dưới đây, hãy chỉ ra các vectơ cùng phương, các cặp vectơ ngược hướng và các cặp vectơ bằng nhau.
Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O.
a) Tìm các vectơ khác vectơ không và cùng phương với AO→.
b) Tìm các vectơ bằng với các vectơ AB→, CD→.
Bài 8: Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Khẳng định nào sau đây sai?
A. A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB→ và AC→ cùng phương.
B. A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB→ và BC→ cùng phương.
C. A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AC→ và BC→ cùng phương.
D. A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AC = BC.
Bài 9: Hai vectơ bằng nhau khi hai vectơ đó có:
A. Cùng hướng và có độ dài bằng nhau.
B. Song song và có độ dài bằng nhau.
C. Cùng phương và có độ dài bằng nhau.
D. Thỏa mãn cả ba tính chất trên.
Bài 10: Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Hai vectơ không bằng nhau thì độ dài của chúng không bằng nhau.
B. Hai vectơ không bằng nhau thì chúng không cùng phương.
C. Hai vectơ bằng nhau thì có giá trùng nhau hoặc song song nhau.
D. Hai vectơ có độ dài không bằng nhau thì không cùng hướng.
Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn đã nắm vững khái niệm và điều kiện để hai vectơ cùng phương. Chúc các bạn học tốt!
