Véc Tơ Chỉ Phương (VTCP) là một khái niệm quan trọng trong hình học giải tích, đặc biệt khi nghiên cứu về phương trình đường thẳng. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan về véc tơ chỉ phương, cách xác định chúng, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng.
A. Định nghĩa và tính chất của véc tơ chỉ phương
Một véc tơ được gọi là véc tơ chỉ phương của một đường thẳng nếu giá của véc tơ đó song song hoặc trùng với đường thẳng.
Các tính chất quan trọng:
- Nếu u→ là một VTCP của đường thẳng d, thì k.u→ (với k ≠ 0) cũng là một VTCP của d. Điều này có nghĩa là một đường thẳng có vô số VTCP, chúng đều cùng phương với nhau.
- Nếu đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến (VTPT) là n→(a; b), thì đường thẳng d nhận véc tơ u→(-b; a) hoặc u’→(b; -a) làm VTCP. VTPT và VTCP của một đường thẳng luôn vuông góc với nhau.
B. Các phương pháp tìm véc tơ chỉ phương
-
Khi biết hai điểm thuộc đường thẳng:
Nếu đường thẳng d đi qua hai điểm A và B, thì véc tơ AB→ là một VTCP của đường thẳng đó. Để tìm tọa độ của véc tơ AB→, ta lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu: AB→ = (xB – xA; yB – yA).
-
Khi biết phương trình tổng quát của đường thẳng:
Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát là ax + by + c = 0. Khi đó, véc tơ pháp tuyến của đường thẳng là n→(a; b). Suy ra, véc tơ chỉ phương của đường thẳng là u→(-b; a) hoặc u→(b; -a).
-
Khi biết phương trình tham số của đường thẳng:
Cho đường thẳng d có phương trình tham số là:
x = x0 + at y = y0 + btTrong đó (x0; y0) là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng và t là tham số. Véc tơ chỉ phương của đường thẳng là u→(a; b).
-
Đường thẳng song song hoặc trùng với trục tọa độ:
- Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox có VTCP là u→(1; 0).
- Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Oy có VTCP là u→(0; 1).
-
Đường thẳng vuông góc với đường thẳng khác:
Nếu đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng d có VTCP u→ = (a; b) thì đường thẳng ∆ nhận véc tơ n→ = (a; b) làm VTPT, suy ra VTCP của đường thẳng ∆ là u→ = (-b; a) hoặc (b; -a)
C. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d có phương trình 2x – 3y + 5 = 0. Tìm một VTCP của đường thẳng d.
Giải:
Đường thẳng d có VTPT là n→(2; -3). Suy ra, một VTCP của d là u→(3; 2).
Ví dụ 2: Tìm một VTCP của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2) và B(4; 6).
Giải:
Véc tơ AB→ = (4-1; 6-2) = (3; 4) là một VTCP của đường thẳng AB.
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d có phương trình tham số:
x = 1 + 2t
y = -1 + tTìm một VTCP của đường thẳng d.
Giải:
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là u→(2; 1).
Ví dụ 4: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d: 2x + 3y = 1
A. u→ = (-2; 3) B. u→ = (3; -2) C. u→ = (3; 2) D. u→ = (2; 3)
Giải:
Đường thẳng d có phương trình tổng quát 2x + 3y – 1 = 0, suy ra VTPT là n→ = (2; 3). Vậy VTCP là u→ = (3; -2).
Chọn B.
Hình ảnh minh họa cách xác định véc tơ chỉ phương từ phương trình đường thẳng, sử dụng véc tơ pháp tuyến để suy ra véc tơ chỉ phương.
Ví dụ 5: Cho hai điểm A(-3; 2) và B(1; 4). Tìm một VTCP của đường thẳng AB.
A. u→ = (-1; 2) B. u→ = (2; 1) C. u→ = (-2; 6) D. u→ = (1; 1)
Giải:
Ta có AB→ = (1 – (-3); 4 – 2) = (4; 2). Do đó, u→ = (2; 1) là một VTCP của đường thẳng AB.
Chọn B.
Ví dụ 6: Cho đường thẳng d đi qua A(1; 2) và B(2; m). Tìm m để đường thẳng d nhận u→ = (1; 3) làm VTCP.
A. m = -2 B. m = -1 C. m = 5 D. m = 2
Giải:
Ta có AB→ = (2 – 1; m – 2) = (1; m – 2). Vì u→ = (1; 3) là VTCP của d, nên AB→ và u→ cùng phương. Suy ra m – 2 = 3, vậy m = 5.
Chọn C.
Hình ảnh này minh họa bài toán tìm giá trị của tham số m để véc tơ AB trở thành véc tơ chỉ phương, dựa trên tính chất cùng phương của các véc tơ.
Ví dụ 7: Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n→ = (-2; -5). Đường thẳng ∆ vuông góc với d có một vectơ chỉ phương là:
A. u→ = (5; -2) B. u→ = (-5; 2) C. u→ = (2; 5) D. u→ = (2; -5)
Giải:
Vì ∆ vuông góc với d, nên VTCP của ∆ là VTPT của d. VTPT của d có thể lấy là u→ = (2; 5)
Chọn C.
Hình ảnh thể hiện mối liên hệ giữa véc tơ pháp tuyến của một đường thẳng và véc tơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với nó.
Ví dụ 8: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Ox
A. u→ = (1; 0). B. u→ = (0; -1) C. u→ = (1; 1) D. u→ = (1; – 1)
Giải:
Trục Ox có phương trình y=0, VTPT n→ = (0; 1) => VTCP u→ = (1; 0)
Chọn A.
Hình ảnh minh họa véc tơ chỉ phương của một đường thẳng song song với trục Ox, nhấn mạnh tính chất của véc tơ này.
D. Bài tập vận dụng
Câu 1: Tìm một VTCP của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; -2) và B(3; 4).
Câu 2: Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát là 3x + y – 7 = 0. Tìm một VTCP của đường thẳng d.
Câu 3: Tìm một VTCP của đường thẳng có phương trình tham số sau:
x = 2 - t
y = 3 + 2tCâu 4: Cho đường thẳng d có VTPT là n→(5; -1). Tìm một VTCP của đường thẳng d.
Câu 5: Cho đường thẳng d đi qua A(-1; 2) và điểm B(m; 3) . Tìm m để đường thẳng d nhận u→( -2; 1) làm VTCP?
Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn đã hiểu rõ hơn về véc tơ chỉ phương và cách ứng dụng chúng trong giải toán hình học. Việc nắm vững khái niệm này sẽ giúp bạn dễ dàng hơn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình đường thẳng và các yếu tố hình học khác.
