Tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số là một trong những dạng toán quan trọng trong chương trình Toán lớp 12 và kỳ thi THPT Quốc gia. Nắm vững phương pháp và các dạng bài tập thường gặp sẽ giúp bạn tự tin chinh phục mọi bài toán liên quan. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức đầy đủ, chi tiết và các ví dụ minh họa dễ hiểu, giúp bạn làm chủ dạng toán này.
A. Phương Pháp Tìm Khoảng Đồng Biến, Nghịch Biến
Để tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y = f(x), ta thực hiện theo các bước sau:
- Tìm tập xác định D của hàm số.
- Tính đạo hàm f'(x).
- Giải phương trình f'(x) = 0 và tìm các điểm tới hạn (điểm mà tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định).
- Lập bảng biến thiên: Sắp xếp các điểm tới hạn theo thứ tự tăng dần trên trục số và xét dấu của f'(x) trên từng khoảng.
- Kết luận:
- Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (a; b) thì hàm số đồng biến trên khoảng (a; b).
- Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (a; b) thì hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b).
Lưu ý quan trọng:
- Hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K khi và chỉ khi f'(x) ≥ 0 (hoặc f'(x) ≤ 0) với mọi x thuộc K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm trên K.
- Nếu đồ thị f'(x) nằm trên trục Ox thì f'(x) > 0, hàm số đồng biến. Ngược lại, nếu đồ thị f'(x) nằm dưới trục Ox thì f'(x) < 0, hàm số nghịch biến.
B. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (-∞; -1) B. (-1; 0) C. (1; +∞) D. (-∞; 1) ∪ (0; 1)
Lời giải:
Chọn A.
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy f'(x) > 0 trên khoảng (-∞; -1). Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -1).
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 1). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 1). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +∞).
Lời giải:
Chọn C.
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 1).
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có đạo hàm f'(x). Biết rằng hàm số f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-∞; 1). B. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (1; +∞). C. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (1; +∞). D. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞).
Lời giải:
Chọn B.
Ta có f'(x) > 0 khi x > 1, do đó hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞).
C. Bài Tập Trắc Nghiệm Tự Luyện
Để củng cố kiến thức, bạn hãy tự giải các bài tập trắc nghiệm sau:
Bài 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R {-1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; +∞). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 1).
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (-∞; 0). B. (-1; 1). C. (-1; 0). D. (1; +∞).
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:
Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?
i) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞; -5) và (-3; -2).
ii) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞; 5).
iii) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-2; +∞).
iv) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞; -2).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Bài 4: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2; +∞). B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3; +∞). C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞; 1). D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; 3).
Bài 5: Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị hàm số y = f'(x) là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (1; 2). B. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0; 2). C. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-2; 1). D. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (-1; 1).
Bài 6: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) xác định, liên tục trên R và f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số f(x) đồng biến trên (-∞; 1). B. Hàm số f(x) đồng biến trên (-∞; 1) và (1; +∞). C. Hàm số f(x) đồng biến trên (1; +∞). D. Hàm số f(x) đồng biến trên R.
Bài 7: Hình bên là đồ thị của hàm số y = f'(x). Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (2; +∞). B. (1; 2). C. (0; 1). D. (0; 1) và (2; +∞).
Bài 8: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R và có đồ thị của đạo hàm y = f'(x) như hình bên dưới. Chọn phát biểu đúng khi nói về hàm số y = f(x).
A. f(0) B. f(0) C. f(0) > f(3). D. f(0) = f(3).
Lời giải: Chọn C
Bài 9: Hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) trên R. Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số f'(x) trên R. Chọn đáp án đúng.
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (-2; +∞). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -1). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; +∞). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 2).
Bài 10: Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y = f(2 – x) đồng biến trên khoảng:
A. (1; 3). B. (2; +∞). C. (-2; 1). D. (-∞; 2).
D. Bài Tập Tự Luyện Nâng Cao
Bài 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu như sau:
. Hỏi hàm số y = f(x2 – 2) đồng biến, nghịch biến trên khoảng nào?
Bài 2. Cho hàm số y = f(x). Biết rằng hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình dưới đây. Hỏi hàm số g(x) = f(1 – 2x) đồng biến trên khoảng nào?
.
Bài 3. Cho hàm số y = f(x). Biết rằng hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình dưới đây. Hỏi hàm số g(x) = 2f(x) + (x + 1)2 đồng biến, nghịch biến trên khoảng nào?
.
Bài 4. Cho hàm số y = f(x). Biết rằng hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình dưới đây. Hỏi hàm số g(x) = f(1 – 2x) + x2 – x nghịch biến trên khoảng nào?
.
Bài 5. Cho hàm số y = x3 + 3×2 – 9x – 7. Vẽ đồ thị hàm số và xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên ℝ?
Hy vọng với những kiến thức và bài tập được cung cấp trong bài viết này, bạn sẽ nắm vững phương pháp và tự tin giải quyết các bài toán tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Chúc bạn thành công!
