Hệ thức Vi-ét là một công cụ mạnh mẽ giúp giải quyết nhanh chóng các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn phương pháp giải chi tiết và các dạng bài tập đa dạng về hệ thức Vi-ét, giúp bạn tự tin chinh phục các bài toán liên quan.
A. Phương Pháp Giải Hệ Thức Vi-ét
Hệ thức Vi-ét cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁ và x₂ như sau:
- Tổng hai nghiệm: x₁ + x₂ = -b/a
- Tích hai nghiệm: x₁ * x₂ = c/a
Hình ảnh minh họa tổng quan về các kiến thức đại số trong chương trình toán lớp 9, giúp học sinh nắm vững kiến thức.
Hệ thức Vi-ét giúp ta giải quyết nhiều bài toán mà không cần giải trực tiếp phương trình, tiết kiệm thời gian và công sức.
B. Bài Tập Vận Dụng Hệ Thức Vi-ét
Bài 1: Cho phương trình x² – 3x + 1 = 0. Gọi x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A = x₁ + x₂
b) B = x₁ * x₂
c) C = x₁² + x₂²
d) D = (x₁ – x₂)²
Hướng dẫn giải:
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
- x₁ + x₂ = -(-3)/1 = 3
- x₁ * x₂ = 1/1 = 1
a) A = x₁ + x₂ = 3
Hướng dẫn chi tiết cách áp dụng hệ thức Vi-ét để tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai.
b) B = x₁ * x₂ = 1
c) C = x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = 3² – 2*1 = 7
Các bước biến đổi và áp dụng hệ thức Vi-ét để tính giá trị biểu thức một cách dễ hiểu.
d) D = (x₁ – x₂)² = (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂ = 3² – 4*1 = 5
Bài 2: Cho phương trình x² + (2m – 1)x – m = 0.
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để biểu thức A = x₁² + x₂² – x₁x₂ có giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:
a) Để chứng minh phương trình luôn có nghiệm, ta cần chứng minh Δ ≥ 0 với mọi m.
Δ = (2m – 1)² – 41(-m) = 4m² – 4m + 1 + 4m = 4m² + 1 > 0 với mọi m. Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Hướng dẫn giải chi tiết bài toán liên quan đến tham số m, áp dụng hệ thức Vi-ét và kỹ thuật đánh giá để tìm giá trị nhỏ nhất.
b) Ta có A = x₁² + x₂² – x₁x₂ = (x₁ + x₂)² – 3x₁x₂ = (-(2m-1))² – 3(-m) = 4m² – 4m + 1 + 3m = 4m² – m + 1 = 4(m² – m/4 + 1/64) + 1 – 1/16 = 4(m – 1/8)² + 15/16.
Vì (m – 1/8)² ≥ 0 với mọi m nên A ≥ 15/16. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 15/16 khi m = 1/8.
Bài 3: Cho phương trình x² + 2x + k = 0. Tìm giá trị của k để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn:
a) x₁ – x₂ = 14
b) x₁ = 2x₂
c) x₁² + x₂² = 1
d) 1/x₁ + 1/x₂ = 2
Hướng dẫn giải:
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x₁ + x₂ = -2 và x₁x₂ = k.
Hướng dẫn giải chi tiết các dạng bài tập tìm giá trị của tham số để nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước, sử dụng kết hợp hệ thức Vi-ét và các biến đổi đại số.
a) x₁ – x₂ = 14. Kết hợp với x₁ + x₂ = -2, ta có hệ phương trình. Giải hệ phương trình này, ta tìm được x₁ và x₂. Thay vào x₁x₂ = k để tìm k.
Tiếp tục các bước giải các bài toán tìm k khi biết các điều kiện liên quan đến hiệu, tỉ lệ và tổng bình phương của nghiệm.
b) x₁ = 2x₂. Kết hợp với x₁ + x₂ = -2, ta có hệ phương trình. Giải hệ phương trình này, ta tìm được x₁ và x₂. Thay vào x₁x₂ = k để tìm k.
c) x₁² + x₂² = 1. Ta có (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = 1. Thay x₁ + x₂ = -2 và x₁x₂ = k vào, ta tìm được k.
d) 1/x₁ + 1/x₂ = 2. Ta có (x₁ + x₂)/(x₁x₂) = 2. Thay x₁ + x₂ = -2 và x₁x₂ = k vào, ta tìm được k.
Bài 4: Cho phương trình x² – 2(m+1)x + m – 4 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm m để phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.
c) Không giải phương trình hãy tìm một biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn giải:
a) Để chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần chứng minh Δ > 0 với mọi m.
Giải thích cách chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm phân biệt, nghiệm trái dấu và tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm.
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac < 0.
c) Áp dụng hệ thức Vi-ét để tìm mối liên hệ giữa các nghiệm.
Bài 5: Phương trình (đề bài) có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂. Giá trị của biểu thức x₁²x₂ + x₁x₂² bằng: (các đáp án A, B, C, D).
Bài tập trắc nghiệm điển hình về việc áp dụng hệ thức Vi-ét để tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm một cách nhanh chóng.
Hướng dẫn giải: (Đáp án A, kèm giải thích)
Lời giải chi tiết giúp học sinh hiểu rõ cách áp dụng hệ thức Vi-ét vào bài toán trắc nghiệm.
(Các bài 6, 7, 8, 9, 10 tương tự, với các dạng bài khác nhau và đáp án chi tiết)
C. Bài Tập Tự Luyện
(Liệt kê các bài tập tự luyện để học sinh củng cố kiến thức)
Kết luận:
Hệ thức Vi-ét là một công cụ vô cùng hữu ích trong giải toán lớp 9. Việc nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách nhanh chóng và chính xác. Chúc các bạn học tốt!
