1. Định Nghĩa và Tính Chất Mặt Phẳng Trung Trực
1.1. Định nghĩa:
Trong không gian Oxyz, cho đoạn thẳng AB và điểm I là trung điểm của AB. Mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu (P) đi qua I và vuông góc với đường thẳng AB.
Hình ảnh minh họa mặt phẳng trung trực (P) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB. Alt text: Mat phang trung truc, doan thang AB, diem I la trung diem.
1.2. Tính chất:
Mọi điểm nằm trên mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu đoạn thẳng đó.
Hình ảnh minh họa một điểm M bất kỳ nằm trên mặt phẳng trung trực (P) sẽ có khoảng cách MA bằng MB. Alt text: Khoang cach, mat phang trung truc, diem M, doan thang AB.
2. Cách Viết Phương Trình Mặt Phẳng Trung Trực
Để viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, ta dựa vào định nghĩa và các yếu tố sau:
- Vectơ pháp tuyến: Vectơ $overrightarrow{AB}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực (P).
- Điểm thuộc mặt phẳng: Trung điểm I của đoạn thẳng AB thuộc mặt phẳng trung trực (P).
Các bước viết phương trình mặt phẳng trung trực:
-
Tìm tọa độ trung điểm I: Tính tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB bằng công thức: $I(frac{x_A + x_B}{2}; frac{y_A + y_B}{2}; frac{z_A + z_B}{2})$.
-
Tìm vectơ pháp tuyến $overrightarrow{AB}$: Tính tọa độ vectơ $overrightarrow{AB}$ bằng công thức: $overrightarrow{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A; z_B – z_A)$.
-
Viết phương trình mặt phẳng (P): Sử dụng phương trình mặt phẳng đi qua điểm I(x₀; y₀; z₀) và có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n} = (a; b; c)$:
$a(x – x_0) + b(y – y_0) + c(z – z_0) = 0$. Thay các giá trị đã tìm được để viết phương trình (P).
Ví dụ 1: Cho A(2; 1; 1) và B(2; -1; -1). Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB.
Giải:
- Trung điểm I của AB có tọa độ: I(2; 0; 0).
- Vectơ $overrightarrow{AB}$ = (0; -2; -2).
- Phương trình mặt phẳng (P): 0(x – 2) – 2(y – 0) – 2(z – 0) = 0 <=> y + z = 0.
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho A(0; 2; -5) và B(2; -4; 7). Tìm phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Giải:
- Trung điểm I của AB có tọa độ: I(1; -1; 1).
- Vectơ $overrightarrow{AB}$ = (2; -6; 12).
- Phương trình mặt phẳng (P): 2(x – 1) – 6(y + 1) + 12(z – 1) = 0 <=> x – 3y + 6z – 10 = 0.
3. Bài Tập Vận Dụng
Bài 1: Cho A(1; 2; 3) và B(3; 6; 1). Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB.
Giải:
- Trung điểm I(2;4;2).
- Vectơ $overrightarrow{AB}$ = (2; 4; -2).
- Phương trình (P): 2(x – 2) + 4(y – 4) – 2(z – 2) = 0 <=> x + 2y – z – 8 = 0.
Bài 2: Cho A(-1; 2; 3) và B(1; 6; -1). Tìm phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
Giải:
- Trung điểm I(0;4;1).
- Vectơ $overrightarrow{AB}$ = (2; 4; -4).
- Phương trình: 2(x – 0) + 4(y – 4) – 4(z – 1) = 0 <=> x + 2y – 2z – 6 = 0.
Bài 3: Cho A(2; 3; 7) và B(4; 1; 3). Tìm phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
Hình ảnh công thức tính tọa độ trung điểm M và công thức phương trình mặt phẳng trung trực đi qua M nhận vecto AB làm vecto pháp tuyến. Alt text: Toa do trung diem, vecto phap tuyen, phuong trinh mat phang trung truc.
Giải:
- Trung điểm M(3;2;5).
- Vectơ $overrightarrow{AB}$ = (2; -2; -4).
- Phương trình (P): 2(x – 3) – 2(y – 2) – 4(z – 5) = 0 <=> x – y – 2z + 6 = 0.
Hình ảnh minh họa cách viết phương trình mặt phẳng trung trực từ tọa độ trung điểm và vecto pháp tuyến. Alt text: Phuong trinh, mat phang, trung truc, toa do, vecto.
Bài 4: Tìm phương trình mặt phẳng (MNP) với M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1).
Hình ảnh công thức tính vecto pháp tuyến bằng tích có hướng của hai vecto MN và MP, sau đó viết phương trình mặt phẳng đi qua M nhận vecto pháp tuyến vừa tìm được. Alt text: Tich co huong, vecto phap tuyen, phuong trinh mat phang.
Giải:
- $overrightarrow{MN}$ = (3; 2; 1), $overrightarrow{MP}$ = (4; 1; 0).
- Vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n}$ = $[overrightarrow{MN}, overrightarrow{MP}]$ = (-1; 4; -5).
- Phương trình: -1(x – 1) + 4(y – 1) – 5(z – 1) = 0 <=> -x + 4y – 5z + 2 = 0 <=> x – 4y + 5z – 2 = 0.
Nắm vững công thức và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để giải quyết các bài toán liên quan đến mặt phẳng trung trực một cách hiệu quả.
