Xét hàm số $f(x, y) = 2x^2 + 4x + 2 – 2y^2$. Bài toán đặt ra là tìm cực trị của hàm số này, tập trung vào việc phân tích và tối ưu biểu thức “2x^2+4x+2-2y^2”. Để làm được điều này, chúng ta sẽ nghiên cứu các đặc điểm của hàm số và áp dụng các phương pháp tìm cực trị phù hợp.
Phân tích hàm số:
Hàm số $f(x, y)$ là một hàm bậc hai hai biến. Chúng ta có thể viết lại nó như sau:
$f(x, y) = 2(x^2 + 2x + 1) – 2y^2 = 2(x + 1)^2 – 2y^2$
Từ dạng này, ta thấy rằng:
- Phần $2(x + 1)^2$ luôn không âm và đạt giá trị nhỏ nhất là 0 khi $x = -1$.
- Phần $-2y^2$ luôn không dương và đạt giá trị lớn nhất là 0 khi $y = 0$.
Tuy nhiên, sự kết hợp của hai phần này tạo ra một hàm số mà giá trị của nó phụ thuộc vào cả $x$ và $y$.
Tìm điểm dừng:
Để tìm điểm dừng của hàm số, ta cần giải hệ phương trình đạo hàm riêng bằng 0:
$f_x = frac{partial f}{partial x} = 4x + 4 = 0$
$f_y = frac{partial f}{partial y} = -4y = 0$
Giải hệ này, ta được $x = -1$ và $y = 0$. Vậy điểm dừng duy nhất là $(-1, 0)$.
Xác định loại cực trị:
Để xác định xem điểm dừng $(-1, 0)$ là cực đại, cực tiểu hay điểm yên ngựa, ta cần tính định thức của ma trận Hessian:
$H = begin{bmatrix} f{xx} & f{xy} f{yx} & f{yy} end{bmatrix} = begin{bmatrix} 4 & 0 0 & -4 end{bmatrix}$
Định thức của ma trận Hessian là $det(H) = (4)(-4) – (0)(0) = -16 < 0$. Vì định thức âm, điểm $(-1, 0)$ là một điểm yên ngựa. Điều này có nghĩa là hàm số không đạt cực đại hoặc cực tiểu tại điểm này.
Ảnh hưởng của miền xác định:
Nếu bài toán có thêm miền xác định cho $x$ và $y$, ví dụ như $x leq 0, y geq 0, y leq x+3$ (như trong bài gốc), thì việc tìm cực trị trở nên phức tạp hơn. Lúc này, ta cần xét cả các điểm dừng nằm trong miền xác định và các điểm trên biên của miền xác định.
Tìm cực trị trên biên:
Việc tìm cực trị trên biên đòi hỏi việc tham số hóa các đoạn biên và tìm cực trị của hàm một biến tương ứng. Ví dụ:
- Trên đoạn $y = 0, x leq 0$, ta có $f(x, 0) = 2x^2 + 4x + 2$.
- Trên đoạn $x = 0, y geq 0$, ta có $f(0, y) = 2 – 2y^2$.
- Trên đoạn $y = x + 3$, ta có $f(x, x+3) = 2x^2 + 4x + 2 – 2(x+3)^2$.
Sau khi tham số hóa, ta cần tìm các điểm dừng trên mỗi đoạn biên và so sánh giá trị của hàm số tại các điểm này với giá trị tại các điểm dừng nằm trong miền xác định để tìm cực trị toàn cục.
Kết luận:
Việc tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = 2x^2 + 4x + 2 – 2y^2$ đòi hỏi sự kết hợp của việc tìm điểm dừng, xác định loại cực trị và xét các điểm trên biên của miền xác định (nếu có). Nếu không có miền xác định, hàm số không có cực trị do điểm dừng là điểm yên ngựa. Nếu có miền xác định, ta cần xét thêm các điểm trên biên.
