Bài toán về mối quan hệ giữa số người và thời gian hoàn thành công việc là một dạng toán quen thuộc trong chương trình học và ứng dụng thực tế. Điểm cốt lõi của dạng toán này là mối quan hệ tỉ lệ nghịch: khi số người tăng lên, thời gian hoàn thành công việc sẽ giảm xuống, và ngược lại, giả sử năng suất lao động của mỗi người là như nhau.
Ví dụ 1: 10 Người Làm Xong Một Công Việc Phải Hết 7 Ngày. Nay muốn làm xong công việc đó trong 5 ngày thì cần bao nhiêu người? (Mức làm mỗi người như nhau).
alt: Đội công nhân đang làm việc, minh họa bài toán năng suất lao động với 10 người làm xong một công việc trong 7 ngày.
Để giải quyết bài toán này, ta có thể áp dụng phương pháp sau:
- Tính tổng số “ngày công” cần thiết để hoàn thành công việc: 10 người x 7 ngày = 70 ngày công.
- Để hoàn thành công việc trong 5 ngày, cần số người là: 70 ngày công / 5 ngày = 14 người.
Vậy, để làm xong công việc trong 5 ngày, cần 14 người.
Ví dụ 2: Một đội công nhân gồm 8 người được giao đắp một đoạn mương trong 20 ngày. Sau khi đắp được 5 ngày, đội đó được bổ sung thêm 16 người về cùng làm. Hỏi đơn vị đó đắp xong đoạn mương được giao trong bao nhiêu ngày? Biết năng suất làm việc của mọi người trong một ngày là như nhau.
Giải
Bài toán này phức tạp hơn một chút, vì có sự thay đổi về số lượng người trong quá trình làm việc. Chúng ta có thể giải quyết bằng hai cách:
Cách 1 (Phương pháp rút về đơn vị)
- Tính số ngày công còn lại theo kế hoạch ban đầu: (20 – 5) ngày * 8 người = 120 ngày công.
- Tính số người sau khi bổ sung: 8 + 16 = 24 người.
- Tính số ngày để 24 người hoàn thành 120 ngày công: 120 ngày công / 24 người = 5 ngày.
- Tổng thời gian hoàn thành công việc: 5 ngày (đã làm) + 5 ngày (làm tiếp) = 10 ngày.
Cách 2 (Phương pháp dùng tỉ số)
- Tính số ngày công còn lại theo kế hoạch ban đầu: (20 – 5) ngày * 8 người = 120 ngày công.
- Tính số người sau khi bổ sung: 8 + 16 = 24 người.
- Tính tỉ lệ số người sau khi bổ sung so với ban đầu: 24 / 8 = 3 lần.
- Vì số người tăng gấp 3 lần, thời gian hoàn thành sẽ giảm 3 lần: (20 – 5) / 3 = 5 ngày.
- Tổng thời gian hoàn thành công việc: 5 ngày (đã làm) + 5 ngày (làm tiếp) = 10 ngày.
alt: Công nhân đắp mương, thể hiện ví dụ về bài toán năng suất lao động có bổ sung thêm người.
Đáp số: 10 ngày.
Ví dụ 3: Một đơn vị thanh niên xung phong chuẩn bị một số gạo đủ cho đơn vị ăn trong 30 ngày. Sau 10 ngày đơn vị nhận thêm 10 người nữa. Hỏi số gạo còn lại đơn vị sẽ đủ ăn trong bao nhiêu ngày, biết lúc đầu đơn vị có 90 người?
Giải
- Số gạo còn lại đủ ăn trong: 30 – 10 = 20 ngày (nếu không có thêm người).
- Tổng số “người x ngày” mà số gạo còn lại đáp ứng được: 90 người * 20 ngày = 1800 “người x ngày”.
- Tổng số người sau khi có thêm: 90 + 10 = 100 người.
- Số ngày mà số gạo còn lại đủ ăn cho 100 người: 1800 “người x ngày” / 100 người = 18 ngày.
Đáp số: 18 ngày.
Những bài toán như trên giúp chúng ta hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa số lượng lao động, thời gian hoàn thành công việc và năng suất lao động. Việc áp dụng các phương pháp giải toán tỉ lệ nghịch giúp chúng ta giải quyết các vấn đề tương tự một cách hiệu quả trong thực tế.
